结论：供应商在客户处发生工伤，责任归属需根据具体情况判断，可能涉及供应商自身责任、客户责任或双方共同责任。以下从不同角度详细分析：
一、供应商自身责任
劳动关系与工伤保险：
- 若供应商与受伤员工存在正式的劳动关系，且供应商已依法为员工缴纳工伤保险，则工伤赔偿应首先由工伤保险基金支付。
- 若供应商未缴纳工伤保险，则根据《工伤保险条例》第六十二条，供应商需承担全部工伤赔偿责任，包括医疗费、伤残补助金、一次性工伤医疗补助金等。
安全保障义务：
- 供应商作为雇主，有义务为员工提供安全的工作环境，采取必要的安全防护措施。若因供应商未履行安全保障义务导致员工工伤，供应商需承担相应责任。
二、客户责任
场地安全责任：
- 若客户提供的场地存在安全隐患，且该隐患是导致工伤的直接原因，客户可能需承担部分或全部责任。例如，客户场地存在未修复的坑洼、裸露的电线等危险源，导致供应商员工受伤。
指示与监督责任：
- 若客户对供应商员工的工作进行了具体指示或监督，且该指示或监督行为存在过错，导致员工工伤，客户也可能需承担相应责任。例如，客户要求供应商员工在危险环境下作业，且未提供必要的安全防护。
三、双方共同责任
混合过错：
- 在某些情况下，工伤的发生可能既与供应商的安全保障措施不足有关，也与客户提供的场地或指示存在过错有关。此时，双方可能需根据各自的过错程度承担共同责任。
合同约定：
- 若供应商与客户之间的合同中明确约定了工伤责任的承担方式，如约定由客户承担部分或全部工伤赔偿责任，则双方应按照合同约定履行。
四、法律建议
及时报告与调查：
- 工伤发生后，供应商应立即报告当地劳动保障部门，并配合进行工伤调查。同时，供应商也应自行调查工伤原因，以确定责任归属。
协商与诉讼：
- 若双方对工伤责任存在争议，可首先尝试通过协商解决。若协商无果，供应商或受伤员工可依法向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或向人民法院提起诉讼。
完善合同与保险：
- 供应商与客户在签订合同时，应明确约定工伤责任的承担方式，以避免未来产生争议。同时，供应商也应依法为员工缴纳工伤保险，以降低自身风险。
举例说明：假设供应商A的员工在客户B的场地作业时，因客户B提供的设备存在故障导致工伤。在此情况下，若供应商A已依法为员工缴纳工伤保险，则工伤保险基金应支付部分赔偿；同时，客户B因提供的设备存在故障，可能需承担部分或全部剩余赔偿责任。具体责任比例需根据双方过错程度、合同约定等因素综合判断。
后续行动建议：若您或您的企业遇到类似情况，建议立即收集相关证据（如工伤现场照片、医疗记录、合同文本等），并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。有问题可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律分析和建议。