在供应商司机到客户处送货受伤的情况下，责任归属需根据具体情形来判断，主要涉及雇主责任、第三人侵权责任以及安全保障义务责任等多个方面。以下是对这些情形的详细分析：
雇主责任：
- 如果司机是供应商的雇员，在执行送货任务过程中受伤，根据《中华人民共和国民法典》中关于雇主责任的规定，供应商作为雇主，通常需要对司机的受伤承担责任。这是因为司机是在为供应商工作期间受伤，属于职务行为导致的损害。
- 例外情况：如果司机存在故意或重大过失，如违反交通规则、操作不当等，导致自己受伤，供应商的责任可能会相应减轻或免除。但这一例外情况需要具体证据支持，不能仅凭主观臆断。
第三人侵权责任：
- 如果司机受伤是由于客户或第三方的过错造成的，如客户提供的卸货环境不安全、第三方车辆碰撞等，那么责任应由造成损害的第三方承担。
- 在这种情况下，司机有权向第三方主张赔偿，包括医疗费、误工费、残疾赔偿金等。如果第三方无法确定或无力赔偿，司机也可以考虑向供应商寻求一定的补偿，但这并非法律上的直接责任，而是基于人道主义或合同约定的补偿。
安全保障义务责任：
- 客户作为送货地点的管理者或使用者，对进入其场所的人员负有一定的安全保障义务。如果客户未能提供安全的卸货环境或未采取必要的安全措施，导致司机受伤，客户可能需要承担一定的责任。
- 这种责任通常属于过错责任，即客户需要证明自己已经尽到了合理的安全保障义务，否则可能需要承担相应的赔偿责任。
综合建议：
- 在处理此类纠纷时，首先应明确司机与供应商之间的劳动关系或雇佣关系，以及司机受伤的具体原因和过程。
- 如果司机是供应商的雇员，且受伤是在执行职务过程中发生的，供应商应承担主要责任。但司机也应检查自身是否存在过错，以便在协商或诉讼中合理主张权益。
- 如果司机受伤是由于客户或第三方的过错造成的，司机应及时收集证据，向责任方主张赔偿。同时，也可以考虑与供应商协商，看是否能获得一定的补偿或支持。
- 在任何情况下，都建议受伤司机及时寻求医疗救助，并保留好相关医疗记录和费用单据，以便在后续的赔偿协商或诉讼中作为证据使用。
最后，每个案件的具体情况都有所不同，因此在实际操作中，还需要根据具体情况进行详细分析和判断。如果你或你身边的人遇到了类似的问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。