关于供应商的司机在客户公司卸货时受伤如何理赔的问题，我们可以从以下几个角度来分析：

1. 明确责任主体：

   • 首先，需要判断司机受伤是否属于工伤。如果司机是供应商的员工，且在执行工作任务时受伤，那么通常会被认定为工伤，由供应商承担主要的赔偿责任，包括医疗费用、康复费用、停工留薪期间的工资等。
   • 同时，也要考虑客户公司是否存在过错，比如卸货区域的安全措施是否到位，是否有明确的指示标志等。如果客户公司存在过错，也可能需要承担一定的赔偿责任。

2. 理赔流程：

   • 如果司机被认定为工伤，供应商应按照规定向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请，并承担相应的赔偿责任。
   • 如果涉及客户公司的赔偿，双方可以通过协商或诉讼的方式来解决。在协商过程中，可以依据相关法律法规和事实情况，明确各自的赔偿责任和赔偿金额。

3. 证据收集：

   • 在理赔过程中，证据的收集至关重要。供应商和司机应尽可能收集现场照片、视频、证人证言、医疗记录等相关证据，以证明司机的受伤情况和责任归属。

4. 法律咨询：

   • 在处理此类复杂的理赔问题时，建议供应商和司机及时咨询专业的律师。律师可以根据具体情况，提供专业的法律意见和指导，帮助双方更好地维护自己的合法权益。

综上所述，供应商的司机在客户公司卸货时受伤，理赔问题需要根据具体情况来判断。如果司机被认定为工伤，主要由供应商承担赔偿责任；如果客户公司存在过错，也可能需要承担一定的赔偿责任。在处理过程中，双方应积极收集证据，并考虑咨询专业律师以获取更专业的法律帮助。