结论：公司和员工一年一签劳动合同到期后辞退是否需要赔偿，取决于辞退的具体原因和情况。一般来说，如果公司无正当理由辞退员工，是需要支付经济补偿的；但如果员工存在过错或双方协商一致解除合同，则可能不需要支付或支付较少的经济补偿。
分析：
劳动合同到期终止：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满的，劳动合同终止。此时，如果公司不续签劳动合同，且员工没有过错，公司通常需要支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式通常是：按照员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。这里所称月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
公司无正当理由辞退：
- 如果公司在劳动合同到期后，无正当理由辞退员工，这可能构成违法解除劳动合同。根据法律规定，公司需要支付赔偿金，赔偿金通常是经济补偿的两倍。
员工存在过错：
- 如果员工在劳动合同期间存在严重违反公司规章制度、失职、营私舞弊等行为，给公司造成重大损害，或者被依法追究刑事责任等情形，公司有权解除劳动合同且不需要支付经济补偿。
双方协商一致解除：
- 如果公司和员工在劳动合同到期后，就解除劳动合同达成一致意见，且员工同意不续签或接受公司提出的解除条件，那么公司可能不需要支付经济补偿，或者支付的经济补偿数额由双方协商确定。
建议：
- 对于员工而言，如果公司提出不续签劳动合同或辞退，应要求公司出具书面通知，并明确辞退的原因和是否支付经济补偿。如有异议，可以与公司协商或向劳动争议调解委员会申请调解，也可以直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 对于公司而言，在辞退员工或决定不续签劳动合同时，应确保有合法、合理的理由，并按照法律规定支付经济补偿（如适用），以避免法律风险和纠纷。
示例：
- 假设员工在公司工作了3年，劳动合同到期后公司决定不续签，且员工没有过错。那么，公司需要支付员工3个月工资作为经济补偿。
- 如果员工在公司工作了1年半，但因严重违反公司规章制度被辞退，且公司有充分证据证明，那么公司可能不需要支付经济补偿。
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