针对您提出的“员工在休息日在家受伤，公司是否可以开除以及是否合法”的问题，以下是我的详细解答：
首先，我们需要明确的是，员工在家受伤后，公司能否解聘该员工，并不是一个简单的“是”或“否”的问题，而是需要根据具体情况及法律法规进行综合判断。
一、若员工受伤属于工伤
医疗期保护：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条及《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》（虽然此规定主要针对非因工负伤，但工伤医疗期保护原则类似），员工因工伤需要停止工作接受治疗的，在规定的医疗期内，公司不得解除劳动合同。
- 工伤员工的医疗期通常根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限确定，这个期限可能是三个月到二十四个月不等。
工伤认定与待遇：
- 若员工在家受伤被认定为工伤，根据《工伤保险条例》，员工在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由公司按月支付。
- 在此期间，除非员工存在严重违反公司规章制度、被依法追究刑事责任等法定过错情形，否则公司不得轻易解除劳动合同。
合法开除的例外情形：
- 即便员工处于工伤医疗期内，如果其存在严重违反公司规章制度、严重失职给公司造成重大损害等行为，公司仍有权依法开除员工。但这种情况需要公司有充分的证据支持，并且符合相关法律法规的规定。
二、若员工受伤不属于工伤
医疗期保护：
- 员工在家因意外受伤且不属于工伤时，同样享有医疗期保护。在医疗期内，公司不得随意解除劳动合同。
规章制度与劳动合同的考量：
- 公司需依据内部规章制度及劳动合同来判断是否可解聘员工。如果员工受伤期间并未严重违反公司规章制度，且没有其他合法解除劳动合同的理由（如不能胜任工作且经调岗后仍不能胜任等），公司通常不得辞退员工。
不能胜任工作与调岗的处理：
- 如果员工受伤恢复后不能从事原工作，公司应为其调整工作岗位。如果调整后员工仍不能胜任工作，并且公司已经提前三十日以书面形式通知员工或者额外支付了一个月工资，那么公司可以解除劳动合同。
严重违反规章制度的情况：
- 如果员工在受伤期间或恢复后存在严重违反公司规章制度的行为（如连续旷工、严重失职等），公司有权依法辞退员工。但同样，公司需要确保有充分的证据证明员工的违规行为，并且公司的规章制度制定程序合法、内容合理，并且已经向员工进行了公示告知。
总结：
员工在家受伤后，公司能否解聘需综合考虑多种因素，包括是否属于工伤、是否在医疗期内、员工是否能胜任工作以及是否存在严重违反规章制度等行为。在任何情况下，公司都应遵守相关法律法规，并妥善处理与员工之间的劳动关系，以确保双方权益得到妥善保障。如果公司未经合法程序或无正当理由解聘员工，可能会面临法律责任和声誉损失。因此，建议公司在处理此类问题时务必谨慎行事，并咨询专业法律意见。