结论：老板无故开除员工且未签合同，员工可以通过法律途径维护自身权益，包括要求支付违法解除劳动合同的赔偿金、未签订书面劳动合同的双倍工资差额等。
一、违法解除劳动合同的赔偿金
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条至第四十八条的规定，用人单位解除劳动合同必须符合法定情形，否则构成违法解除。
- 违法解除劳动合同的，用人单位应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
赔偿金计算：
- 经济补偿标准通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 赔偿金则是经济补偿标准的二倍，即工作年限对应的经济补偿数额乘以2。
举证责任：
- 员工需要证明与用人单位存在劳动关系（尽管未签合同，但可通过工资条、工作证、考勤记录等证据证明）。
- 员工还需证明用人单位存在违法解除劳动合同的行为，如未提前通知、未说明解除理由或理由不合法等。
二、未签订书面劳动合同的双倍工资差额
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
双倍工资差额计算：
- 双倍工资差额的计算期间为自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日，共11个月。
- 每月双倍工资的数额为劳动者当月应得工资（包括基本工资、奖金、津贴等）。
举证责任：
- 员工需要证明与用人单位存在劳动关系（同样可通过工资条、工作证、考勤记录等证据证明）。
- 员工还需证明用人单位未与其签订书面劳动合同的事实。
三、其他可能的权益
未休年假工资：
- 如果员工在用人单位工作满一年且未享受年假，有权要求用人单位支付未休年假工资。
加班费：
- 如果员工存在加班情况且用人单位未支付加班费，员工有权要求用人单位支付加班费。
四、行动建议
收集证据：
- 员工应尽快收集与用人单位存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录、工作邮件、聊天记录等。
- 同时，收集用人单位违法解除劳动合同的证据，如解除通知、录音录像等。
协商解决：
- 在收集到足够证据后，员工可以尝试与用人单位协商解决，要求用人单位支付赔偿金、双倍工资差额等。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，员工可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，提交仲裁申请书及证据材料。
- 劳动仲裁委员会将依法审理案件并作出裁决，员工有权要求用人单位履行裁决结果。
提起诉讼：
- 如果对劳动仲裁结果不服，员工还可以向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自身权益。
五、注意事项
时效性：
- 员工应在知道或应当知道权益被侵害之日起一年内申请劳动仲裁或提起诉讼，以免超过时效期间而丧失胜诉权。
法律程序：
- 员工应了解并遵循法律程序，如申请劳动仲裁前需先向劳动争议调解组织申请调解（非必经程序），但调解不是申请仲裁或诉讼的前置条件。
专业咨询：
- 在处理此类劳动纠纷时，员工如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供详细的法律建议和指导。