针对您提出的“私人老板没签合同的被开除怎么办”这一问题，以下是我的详细解答：

一、核心结论与维权路径

1. 您有权主张未签合同的双倍工资差额
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，若您工作满一个月后仍未签合同，可要求老板支付从第二个月起至离职前的双倍工资差额（即额外支付一倍工资），最长主张11个月。

2. 若被违法开除，您可要求赔偿金
   若老板无合法理由开除您（如未提前30天书面通知、未支付经济补偿等），可能构成违法解除劳动关系。此时，您可依据《劳动合同法》第四十八条、第八十七条，要求老板支付赔偿金，标准为经济补偿标准的二倍。经济补偿按工作年限计算：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年按一年计算；不满六个月支付半个月工资。

二、具体维权步骤与证据收集

1. 收集劳动关系证据
   这是维权的关键。您需收集以下材料证明与老板存在事实劳动关系：

   • 工资支付记录（如转账记录、工资条）；
   • 工作证、考勤记录（如打卡记录、排班表）；
   • 同事证言（需证人出庭或提供书面证词）；
   • 工作沟通记录（如微信、邮件中的工作安排）；
   • 其他能证明劳动关系的材料（如工作服、工作群聊天记录）。

2. 与老板协商
   在证据充分的情况下，您可先与老板协商，要求其支付双倍工资差额及赔偿金。协商时注意保留沟通记录（如录音、聊天记录），以备后续维权使用。

3. 向劳动监察部门投诉
   若协商无果，您可向当地劳动监察大队投诉，提交证据材料，要求其责令老板支付双倍工资及赔偿金。劳动监察部门通常会在15个工作日内调查并反馈结果。

4. 申请劳动仲裁
   若投诉未果，您可在知道权利被侵害之日起一年内，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁需提交仲裁申请书、证据材料及身份证明。仲裁裁决具有法律效力，若老板不履行，您可向法院申请强制执行。

三、特殊情形与注意事项

1. 若老板否认劳动关系
   若老板否认与您存在劳动关系，您需通过证据链证明。例如，工资转账记录需显示老板账户或公司账户；工作证需有公司名称或老板签名；考勤记录需显示具体工作时间及地点。若证据不足，仲裁可能败诉。

2. 若老板以“严重违反规章制度”为由开除
   若老板主张您存在严重违反规章制度的行为（如旷工、盗窃等），您需核实其主张是否属实。若老板无法提供充分证据（如规章制度、您签字的违纪确认书），其开除行为可能被认定为违法，您仍可主张赔偿金。

3. 注意仲裁时效
   劳动仲裁的时效为一年，从您知道或应当知道权利被侵害之日起计算。例如，若您于2024年1月1日被开除，则需在2025年1月1日前申请仲裁。逾期申请，仲裁委员会可能不予受理。

四、法律建议与风险提示

1. 及时维权，避免证据灭失
   劳动关系证据可能随时间灭失（如工作群解散、同事离职）。建议您尽快收集证据并启动维权程序。

2. 谨慎签署文件
   若老板要求您签署“自愿离职”或“放弃赔偿”等文件，切勿轻易签署。此类文件可能被认定为您放弃权利，导致维权失败。

3. 咨询专业律师
   若案件复杂（如涉及工伤、加班费等），建议您咨询专业律师，制定个性化维权方案。

最后，若您在维权过程中遇到任何问题，可直接向我咨询。我作为专业律师，将为您提供详细的法律指导与帮助。