结论：十年老员工被辞退后，是否可以要求补偿或赔偿，以及具体的数额，主要取决于辞退的原因和具体情况。以下是详细分析：
合法辞退无需补偿
- 若用人单位因劳动者存在过失而辞退，如劳动者在试用期间不符合录用条件、严重违反规章制度、严重失职营私舞弊给用人单位造成重大损害等，根据《劳动合同法》第三十九条，用人单位可以合法辞退且无需支付经济补偿或赔偿。
无过失性辞退或经济性裁员需支付经济补偿
- 无过失性辞退：若劳动者因患病、非因工负伤医疗期满不能从事原工作或调整后的工作，或不能胜任工作经培训调岗后仍不能胜任，或劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致无法履行且未能就变更协议达成一致，用人单位需提前三十日书面通知或额外支付一个月工资后解除合同，并支付经济补偿。根据《劳动合同法》第四十条和第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。因此，工作十年的老员工通常可获得十个月工资的经济补偿。
- 经济性裁员：若用人单位因企业破产法规定重整、生产经营严重困难、转产或技术革新等需要裁减人员，且符合法定条件，用人单位需按照员工的工作年限支付经济补偿，计算方式同上。
违法辞退需支付赔偿金
- 若用人单位违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无任何合法理由辞退老员工，根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位需按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。即工作十年的老员工可能获得二十个月工资数额的赔偿。
其他注意事项：
- 未签订书面劳动合同：若单位自用工之日起超过一个月不满一年未与员工签订书面劳动合同，应向员工每月支付二倍的工资。若满一年仍未签订，视为已订立无固定期限劳动合同，员工可要求单位支付11个月的双倍工资赔偿（但此情况与辞退补偿不直接相关，若同时存在可一并主张）。
- 单位违法行为导致的离职：若员工因单位拖欠工资、未依法缴纳社会保险费等违法行为而主动离职，除可要求单位补缴社保、结清工资外，还可能根据单位违法行为造成的损害要求额外赔偿（此情况适用于员工主动离职，与被辞退不完全一致，但若辞退前存在此类违法行为，可作为主张赔偿的依据）。
建议：
- 面对辞退，老员工应首先判断辞退的合法性及原因，收集相关证据，如劳动合同、工资条、辞退通知等。
- 根据辞退原因，对照上述法律条款，确定自身是否有权要求经济补偿或赔偿。
- 若对辞退的合法性或补偿数额有疑问，可直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议和帮助。