结论：体校里教练聘请的没有合同的教练，在有事实证明劳动关系已解除的情况下，一般可以申请劳动仲裁要求赔偿，但具体能否获得赔偿以及赔偿的数额和项目，需根据实际情况和法律规定来确定。
分析说明：
劳动关系的认定：
- 即使没有书面合同，如果双方实际履行了劳动权利和义务，如教练提供了劳动服务，体校支付了报酬，且双方存在管理与被管理的关系，那么可以认定双方存在事实劳动关系。
- 根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》等相关规定，用人单位招用劳动者未订立书面劳动合同，但同时具备下列情形的，劳动关系成立：(一)用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格；(二)用人单位依法制定的各项劳动规章制度适用于劳动者，劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动；(三)劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分。
劳动仲裁的申请：
- 在劳动关系解除后，如果教练认为自己的权益受到了侵害，如未支付劳动报酬、未缴纳社会保险等，可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 申请劳动仲裁时，需要提供相关证据证明劳动关系的存在以及权益受到侵害的事实，如工作证、工资条、考勤记录、同事证言等。
赔偿的请求：
- 如果劳动仲裁委员会认定双方存在劳动关系，并且教练的权益确实受到了侵害，那么教练可以请求体校支付未支付的劳动报酬、经济补偿金、赔偿金等。
- 具体赔偿的数额和项目，需要根据实际情况和法律规定来确定，如未签订书面劳动合同的双倍工资差额、违法解除劳动关系的赔偿金等。
特殊情况说明：
- 如果教练与体校之间属于劳务关系而非劳动关系，那么教练可能无法直接申请劳动仲裁要求赔偿，而需要通过民事诉讼等途径来解决纠纷。劳务关系与劳动关系的区别主要在于双方是否存在管理与被管理的关系，以及是否适用劳动法律法规等。
- 如果教练在提供劳动服务过程中存在过错或违约行为，导致体校遭受损失的，体校可能有权要求教练承担相应的赔偿责任。
行动建议：
- 建议教练在申请劳动仲裁前，先收集并整理好相关证据，如工作证、工资条、考勤记录、同事证言等，以证明劳动关系的存在以及权益受到侵害的事实。
- 如果对劳动仲裁流程或法律规定不熟悉，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到有效维护。
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