首先，我们明确几个核心要点：员工在试用期期间受伤、公司未签订劳动合同、公司未购买社保、员工在治疗期间被开除。接下来，我将从这几个方面逐一分析并给出相应的法律建议。

1. 员工在试用期期间受伤：

   • 根据《工伤保险条例》，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。试用期员工同样享受这一待遇。
   • 因此，该员工有权申请工伤认定，并享受相应的工伤待遇，包括医疗费用、康复费用等。

2. 公司未签订劳动合同：

   • 根据《劳动合同法》，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。
   • 公司未签订劳动合同，违反了法律规定。员工可以主张公司支付双倍工资作为赔偿（自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日）。

3. 公司未购买社保：

   • 社保是用人单位的法定义务，公司未购买社保违反了法律规定。
   • 员工可以要求公司补缴社保，并主张公司承担因未购买社保而给其造成的损失。

4. 员工在治疗期间被开除：

   • 根据《劳动合同法》，员工在医疗期内，用人单位不得解除劳动合同。
   • 公司开除在治疗期间的员工，违反了法律规定。员工可以主张公司支付赔偿金，赔偿金数额通常为经济补偿金的两倍。

综上所述，该员工在试用期期间受伤且被开除，公司存在多处违法行为。员工可以依法维护自己的权益，包括申请工伤认定、主张双倍工资赔偿、要求补缴社保以及主张违法解除劳动合同的赔偿金。如果你需要进一步的法律帮助或咨询，请随时告诉我。