结论：没有劳动合同但在上班期间受伤出院后，用人单位一般不能随意开除您，否则可能构成违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任。不过，具体是否构成违法解除以及用人单位应承担的责任，还需根据实际情况来判断。
分析说明：
劳动关系的认定：
- 即使没有签订书面劳动合同，只要您与用人单位之间存在事实上的劳动关系（如您接受用人单位的管理、从事用人单位安排的工作、用人单位向您支付劳动报酬等），您就受到劳动法的保护。
- 在这种情况下，用人单位不能随意解除与您的劳动关系，否则可能构成违法解除。
工伤的认定与待遇：
- 如果您在上班期间受伤，且该伤害被认定为工伤，那么您有权享受工伤保险待遇，包括医疗费、停工留薪期工资、伤残补助等。
- 工伤的认定并不依赖于是否签订了劳动合同，而是依赖于是否存在劳动关系以及伤害是否因工作原因造成。
用人单位违法解除的法律责任：
- 如果用人单位在您受伤出院后违法解除与您的劳动关系，根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位可能需要向您支付赔偿金，赔偿金的数额通常为您经济补偿金的两倍。
- 经济补偿金的计算依据是您在用人单位的工作年限和月工资水平。具体来说，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
特殊场景：
- 如果您与用人单位之间不存在事实上的劳动关系（例如，您只是临时为用人单位提供劳务，或者您的身份不符合劳动者的要件，如在校大学生实习等），那么用人单位可能不受劳动法的约束，可以解除与您的劳务关系。但这种情况并不常见，且需要具体分析。
行动建议：
收集证据：
- 收集能够证明您与用人单位之间存在事实劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录、工作邮件等。
- 收集能够证明您受伤是因工作原因造成的证据，如医疗记录、事故报告等。
申请工伤认定：
- 向当地的社会保险行政部门申请工伤认定，以便享受工伤保险待遇。
协商或诉讼：
- 如果用人单位违法解除了与您的劳动关系，您可以先尝试与用人单位协商解决；如果协商不成，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或者向人民法院提起诉讼。
后续思考依据：
- 在处理此类纠纷时，关键在于证明您与用人单位之间存在事实劳动关系以及您的伤害是因工作原因造成的。因此，收集相关证据至关重要。
- 如果用人单位拒绝承担责任或者您对处理结果不满意，您可以寻求法律援助或者咨询专业律师（比如我，刘世吉律师，专注于劳动纠纷、劳动合同领域），以便更好地维护自己的合法权益。