结论：私人厂半年未签合同，您有权要求工厂签订书面劳动合同，并可主张未签合同期间的双倍工资差额。若工厂拒绝，您可通过劳动仲裁维护自身权益。以下从法律背景、具体建议、可能后果三个角度详细分析：
一、法律背景
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条及第八十二条的规定：
- 书面合同签订义务：用人单位自用工之日起即应与劳动者订立书面劳动合同，最迟不得超过一个月。
- 未签合同的双倍工资差额：若用人单位超过一个月未签书面合同，需向劳动者每月支付二倍工资，最长支付期限为11个月（即从用工满一个月的次日起算，至满一年的前一日止）。
举例说明：若您于2023年1月1日入职，工厂至今未签合同，则自2023年2月1日起，您有权要求工厂支付双倍工资差额，直至2023年12月31日（共11个月）。
二、具体建议
主动要求签订合同：
- 沟通协商：首先与工厂负责人沟通，明确要求签订书面劳动合同，并保留沟通记录（如微信、短信、邮件等）。
- 书面通知：若协商无果，可向工厂发送书面通知（如律师函或自行撰写的通知函），要求限期签订合同，并保留送达证据（如快递单、签收记录等）。
收集证据：
- 劳动关系证明：收集工资条、银行流水、工作证、考勤记录、同事证言等，证明您与工厂存在事实劳动关系。
- 未签合同证据：保留工厂未签合同的书面或电子证据（如工厂拒绝签合同的回复、未签字的合同文本等）。
申请劳动仲裁：
- 仲裁请求：若工厂仍拒绝签订合同，您可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张以下权益：
- 要求工厂签订书面劳动合同；
- 要求工厂支付未签合同期间的双倍工资差额；
- 若工厂存在其他违法行为（如拖欠工资、未缴社保等），可一并主张。
- 仲裁流程：提交仲裁申请书、证据材料→仲裁委受理→开庭审理→裁决。仲裁裁决具有法律效力，若工厂不履行，可向法院申请强制执行。
三、可能后果
- 工厂主动补签合同并支付差额：若工厂意识到违法成本，可能主动与您补签合同并支付双倍工资差额，此时您可接受或继续主张其他权益。
- 工厂拒绝履行，仲裁裁决支持您：若工厂拒绝履行，仲裁委将裁决工厂支付双倍工资差额并签订合同。若工厂仍不履行，您可向法院申请强制执行。
- 工厂反诉或提出抗辩：工厂可能以“已口头约定合同”“您拒绝签合同”等理由抗辩，但需提供证据支持。若工厂无法证明，抗辩通常不会被采纳。
温馨提示：劳动仲裁是维护劳动者权益的有效途径，且仲裁不收费，流程相对简便。若您对仲裁流程或证据收集有疑问，可直接向我咨询，我将为您提供详细指导。