公民认为行政机关不依法履行法定职责的，完全有权申请行政复议以维护自身的合法权益。以下是对这一问题的详细解答：
一、行政复议的法律依据
根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，公民、法人或其他组织若认为行政机关的具体行政行为侵犯了其合法权益，特别是当行政机关不履行保护人身权利、财产权利、受教育权利等法定职责，或者未依法发放抚恤金、社会保险金、最低生活保障费等，均属于不依法履行法定职责的情况，都有权向法定的行政复议机关提出复议申请。
二、可以申请行政复议的具体情形
在行政机关不依法履行法定职责的情况下，以下是一些常见的可以申请行政复议的情形：
申请行政机关履行保护合法权益的法定职责，行政机关拒绝履行、未依法履行或者不予答复：例如，公民申请行政机关保护其人身安全或财产安全，但行政机关未采取任何措施或未及时采取措施。
申请行政机关依法给付抚恤金、社会保险待遇或者最低生活保障等社会保障，行政机关没有依法给付：如公民符合领取抚恤金或最低生活保障的条件，但行政机关未予发放。
三、申请行政复议的条件
在申请行政复议时，申请人需满足以下条件以确保申请的合法性和有效性：
申请人资格：必须是直接认为具体行政行为侵犯其合法权益的公民、法人或其他组织。
明确的被申请人：即被指控未依法履行职责的行政机关。
具体的复议请求和事实根据：申请人需要清晰说明行政机关如何未依法履行职责，并提供相关证据支持。例如，提供申请行政机关履行职责的书面材料、行政机关的回复（如有）等。
申请期限：通常情况下，申请人可在自知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请。但需注意，如果法律规定的申请期限超过六十日，则按更长期限执行。对于行政机关不履行法定职责的情况，如果行政机关有明确的履行期限，则自履行期限届满之日起计算申请期限；若行政机关未设定履行期限，则自行政机关收到申请满六十日起开始计算。
四、行政复议的申请与受理流程
提交申请：申请人可以选择口头或书面方式提交行政复议申请。书面申请可通过当面递交、邮寄、传真等方式进行。采用邮寄方式时，建议在邮单上注明“行政复议申请书”，并妥善保管邮单回执。
审查受理：行政复议机关在收到申请后，将进行严格的审查，包括确认申请是否符合法律、法规规定的条件，是否属于重复申请，案件是否已由人民法院受理，以及申请手续是否完备等。一旦复议申请符合法定条件，行政复议机关将正式受理。
审理决定：在审理过程中，行政复议机关将全面考虑申请人的诉求、行政机关的答辩以及相关证据，最终作出公正、合法的复议决定。
五、注意事项
并非所有情形均可申请复议：虽然行政机关不依法履行法定职责是常见的可以申请行政复议的情形之一，但并非所有对行政机关的不满或争议都可以通过行政复议解决。例如，行政处分或人事处理决定、民事纠纷调解或其他处理等情形就不属于行政复议的受案范围。
积极行使权利：在符合法定条件和受理范围的情况下，公民、法人或其他组织应积极行使申请行政复议的权利，以维护自身合法权益不受侵害。
综上所述，公民在面临行政机关不依法履行法定职责的情况时，不仅有权申请行政复议，而且应当了解并遵循相关的法律程序和规定，以确保自身权益得到有效维护。