结论：行政机关不履行复议决定时，申请人确实可以起诉其不履行法定职责，但应首先通过行政系统内部的监督机制要求责令限期履行或追究法律责任；若该途径未能有效解决问题，且满足起诉条件，申请人可以向法院提起行政诉讼。

一、行政复议决定的履行与监督机制

根据《中华人民共和国行政复议法》第三十二条，被申请人（即原行政机关）应当履行行政复议决定。若被申请人不履行或无正当理由拖延履行，行政复议机关或有关上级行政机关有权责令其限期履行。这一机制旨在通过行政系统内部的层级监督，高效解决行政机关不履行决定的问题。

具体流程：

1. 责令限期履行：行政复议机关或上级行政机关在发现被申请人不履行复议决定时，会发出责令限期履行的通知。
2. 追究法律责任：若被申请人经责令仍拒不履行，根据《行政复议法》第三十七条，直接负责的主管人员和其他直接责任人员将依法受到警告、记过、记大过等处分；情节严重的，还可能面临降级、撤职、开除的处分。

二、行政诉讼的可行性及条件

尽管行政系统内部有监督和纠错程序，但申请人仍有权在特定条件下向法院提起行政诉讼。根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，满足以下条件时，申请人可提起诉讼：

1. 原告资格：申请人需与行政机关的不作为行为有直接利害关系，即其权益受到行政行为的影响。
2. 明确的被告：被告应为作出具体行政行为的行政机关，即未履行复议决定的原行政机关。
3. 具体的诉讼请求和事实根据：申请人需明确提出要求行政机关履行何种职责，并提供相应的事实根据来证明行政机关确实存在不作为的行为。
4. 属于法院受案范围：所诉事项必须属于人民法院受理行政诉讼的范围。

起诉流程：

1. 准备起诉材料：包括起诉状、证据材料等。起诉状应写明原告、被告的基本信息，诉讼请求，事实与理由等内容。证据材料则包括法律法规文本、申请书复印件、邮寄凭证、与行政机关的沟通记录等。
2. 向法院提交起诉材料：将准备好的起诉材料提交给有管辖权的人民法院。
3. 法院受理：法院会对起诉材料进行审查，符合起诉条件的，会予以受理，并通知原告缴纳诉讼费用。
4. 开庭审理：法院受理后，会安排开庭时间，并通知双方当事人参加庭审。在庭审中，双方当事人可以就案件事实和法律适用进行辩论。
5. 法院判决与执行：法院根据庭审情况作出判决。如果判决支持原告的诉讼请求，行政机关应当依法履行相应的职责；如果判决驳回原告的诉讼请求，原告可以在法定期限内提起上诉。

三、实际操作中的建议

1. 优先利用行政系统内部监督机制：在提起行政诉讼前，申请人应首先尝试通过行政复议机关或上级行政机关的监督机制来解决问题。这通常更为高效，且能避免不必要的诉讼成本。
2. 充分准备起诉材料：若决定提起行政诉讼，申请人需充分准备起诉材料，确保所有证据都充分、有力，以支持其诉讼请求。
3. 注意诉讼时效：根据法律规定，申请人应在知道或应当知道行政机关未履行法定职责之日起六个月内提起诉讼。逾期提起的，法院可能不予受理。

四、可能的法律后果

1. 若行政机关被判决履行职责：行政机关需在判决指定的期限内履行复议决定或采取其他补救措施。若拒不履行，法院可采取强制执行措施，如罚款、拘留等。
2. 若申请人的诉讼请求被驳回：申请人可在法定期限内提起上诉，继续寻求法律救济。

综上所述，面对行政机关不履行复议决定的情况，申请人应首先利用行政系统内部的监督机制来寻求解决方案。若该途径无效，且满足起诉条件，申请人则可依法向法院提起行政诉讼，以维护自身合法权益。在整个过程中，若你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。