被申请人不履行行政复议决定书是可以提起行政诉讼的。以下是详细的分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，公民、法人或者其他组织对行政复议决定不服的，可以依照《中华人民共和国行政诉讼法》的规定向人民法院提起行政诉讼。这表明，行政复议决定并非最终裁决，当事人有进一步寻求法律救济的途径。

2. 行政复议与行政诉讼的关系：

   • 行政复议是行政机关内部监督和纠错机制的一种，旨在解决行政争议。然而，当行政复议决定未能满足当事人的期望或需求时，当事人有权通过行政诉讼这一司法途径来进一步维护自己的合法权益。
   • 行政诉讼是司法机关对行政机关的行政行为进行审查的一种制度，它提供了对行政复议决定进行司法评价的可能性。

3. 提起行政诉讼的条件：

   • 当事人必须是不服行政复议决定的公民、法人或其他组织。
   • 必须在法定期限内提起行政诉讼，通常是在收到行政复议决定书之日起的一定时间内（如60日内，但具体期限可能因地区或具体法律规定而异）。
   • 必须符合行政诉讼的受理条件，包括有明确的被告、具体的诉讼请求和事实根据等。

4. 注意事项：

   • 在提起行政诉讼前，当事人应当充分准备相关证据和材料，以支持自己的诉讼请求。
   • 当事人应当了解并遵守行政诉讼的程序规定，如起诉、答辩、举证、质证等。

综上所述，被申请人不履行行政复议决定书时，当事人有权提起行政诉讼来维护自己的合法权益。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。