在行政复议责令履行而行政机关未履行的情况下，申请人确实可以提起诉讼。以下是对此问题的详细分析：

一、行政复议决定的履行与监督机制

根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，行政复议决定具有法律效力，被申请人（即原行政机关）应当履行。若被申请人不履行或无正当理由拖延履行行政复议决定，行政复议机关或有关上级行政机关有权责令其限期履行。这一机制旨在通过行政系统内部的监督，确保行政复议决定得到有效执行。

二、行政诉讼的可行性及条件

尽管行政系统内部设有监督机制，但并不排除申请人通过司法途径寻求救济的可能性。当行政机关未履行行政复议决定，且申请人认为其合法权益因此受到侵害时，可以依法向人民法院提起行政诉讼。提起行政诉讼需满足以下条件：

1. 原告资格：申请人需与被诉行政行为具有法律上的利害关系，即其权益因行政行为而受到直接影响。
2. 明确的被告：诉讼必须有明确的被告，通常是作出具体行政行为的行政机关。
3. 具体的诉讼请求和事实根据：申请人需提出明确的诉讼请求，并提供相应的事实和法律依据来支持其主张。
4. 属于法院受案范围：所诉事项必须属于人民法院受理行政诉讼的范围。

三、提起行政诉讼的具体流程

若申请人决定提起行政诉讼，应遵循以下流程：

1. 准备起诉材料：包括起诉状、证据材料等，以证明其符合起诉条件。
2. 向有管辖权的人民法院提起诉讼：根据行政诉讼法的规定，选择具有管辖权的人民法院提起诉讼。
3. 参与诉讼过程：包括出庭、举证、质证等，以维护其合法权益。

四、法律后果与风险提示

1. 若法院支持申请人的诉讼请求：则可能判决行政机关履行行政复议决定，或采取其他补救措施以保障申请人的合法权益。
2. 若法院驳回申请人的诉讼请求：则申请人需承担不利后果，包括诉讼费用的承担等。同时，申请人应反思其诉讼请求是否合理、证据是否充分等问题。

建议：在提起行政诉讼前，申请人应充分评估其诉讼请求的合理性和证据的充分性。若对法律程序不熟悉，可寻求专业律师的帮助，以确保其合法权益得到有效维护。

综上所述，当行政机关未履行行政复议决定时，申请人有权依法向人民法院提起行政诉讼。在提起诉讼前，申请人应充分了解相关法律规定和诉讼流程，并评估其诉讼请求的合理性和证据的充分性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。