在行政复议责令行政机关履职后，若行政机关仍未履行，申请人可以向法院提起行政诉讼。以下是对此问题的详细分析：
一、行政复议决定的履行与监督机制
根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，行政机关在收到行政复议决定后，应当履行该决定。若行政机关不履行或无正当理由拖延履行，行政复议机关或有关上级行政机关有权采取以下措施：
责令限期履行：行政复议机关或上级行政机关可以责令原行政机关在规定期限内履行行政复议决定。这一措施旨在通过行政系统内部的监督机制，促使行政机关及时履行其法定职责。
追究法律责任：对于不履行或无故拖延履行的直接负责主管人员和其他直接责任人员，可依法给予警告、记过、记大过的处分；经责令履行仍拒不履行的，更可依法给予降级、撤职、开除的处分。这一规定体现了法律对行政机关不履行职责的严厉制裁。
二、行政诉讼的可行性
尽管行政系统内部有监督和纠错程序，但若这些程序未能有效解决问题，申请人仍有权向法院提起行政诉讼。具体来说，以下条件需得到满足：
原告资格：申请人需具备法律上的利害关系，即其权益受到行政机关不履行行政复议决定行为的影响。
明确的被告：诉讼必须有明确的被告，即作出不履行行政复议决定行为的行政机关。
具体的诉讼请求和事实根据：申请人需提出具体的诉讼请求，如要求行政机关履行行政复议决定、赔偿损失等，并提供相应的事实根据来支持其主张。
属于法院受案范围：所诉事项必须属于人民法院受理行政诉讼的范围。根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，行政机关不履行法定职责的行为属于法院受案范围。
三、行政诉讼的提起与审理
若申请人决定向法院提起行政诉讼，需按照以下步骤进行：
准备起诉材料：包括起诉状、证据材料等。起诉状应明确诉讼请求、事实和理由等。
选择管辖法院：根据行政诉讼法的规定，选择有管辖权的人民法院提起诉讼。
提交起诉材料并等待受理：将起诉材料提交给法院，并等待法院的受理决定。若法院认为符合起诉条件，将予以受理并安排开庭审理。
参加庭审并等待判决：在庭审过程中，申请人需就其诉讼请求和事实根据进行陈述和辩论。法院将根据事实和法律规定作出判决或裁定。
四、法律后果与救济途径
若法院经审理认为行政机关确实存在不履行行政复议决定的行为，且该行为违法，法院将判决行政机关履行行政复议决定或采取其他补救措施。若行政机关仍不履行判决或裁定，申请人可以申请法院强制执行。
此外，若申请人认为行政机关的不履行行为给其造成了损失，还可以在提起行政诉讼的同时或单独提起行政赔偿诉讼，要求行政机关赔偿其损失。
总结：面对行政机关不履行行政复议决定的情况，申请人应首先利用行政系统内部的监督机制来寻求解决方案。若该途径无效，且满足起诉条件，申请人则可依法向法院提起行政诉讼以维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。