结论：行政机关不履行职责，在符合法定条件的情况下，公民、法人或者其他组织可以依法提起行政诉讼来维护自身合法权益。以下从多个角度进行详细分析：
一、法律依据
根据《中华人民共和国行政诉讼法》第十二条的规定，人民法院受理公民、法人或者其他组织对下列事项提起的诉讼，其中包括“申请行政机关履行保护人身权、财产权等合法权益的法定职责，行政机关拒绝履行或者不予答复的”。这一条款明确赋予了公民、法人或其他组织在行政机关不履行法定职责时提起诉讼的权利。
二、起诉条件
存在应作为的法定职责：
- 行政机关必须具备法律、法规、规章等明确赋予的职责。例如，公安机关需维护社会治安，市场监督管理部门需监管市场经营活动。若无法定职责依据，则不能认定行政机关存在不作为。
已向行政机关提出申请（部分情况除外）：
- 通常情况下，当事人需先向相关行政机关提出履行职责的申请，如申请行政许可或要求查处违法行为，并提交完整的申请材料或相关线索和证据。
- 特殊情况下，即便未提出申请，若行政机关有主动履职义务（如突发公共安全事件），也不影响起诉。例如，在环境污染事件中，环保部门有主动监测和处理的职责，无需当事人申请。
行政机关未履行或未有效履行：
- 行政机关需在合理期限内作出实质性行动，且该行动需达到履行法定职责的效果。拖延处理、敷衍塞责等均视为未有效履行。例如，当事人向市场监督管理部门投诉某商家售假，但市场监督管理部门仅进行形式上的调查而未采取实质性措施，即构成未有效履行职责。
利害关系与起诉期限：
- 当事人必须与行政行为有法律上的利害关系，即不作为行为需对当事人的合法权益产生实际影响。例如，当事人因行政机关未履行职责而遭受经济损失或人身伤害。
- 起诉需在法定的起诉期限内提出。根据法律规定，公民、法人或者其他组织直接向人民法院提起诉讼的，应当自知道或者应当知道作出行政行为之日起六个月内提出。
属于受案范围和受诉法院管辖：
- 起诉需符合行政诉讼法规定的受案范围，排除行政机关内部管理行为、抽象行政行为等非受案范畴。
- 需向有管辖权的人民法院提起诉讼，遵循地域管辖和级别管辖的规定。例如，对国务院部门或县级以上地方政府所作的行政行为提起诉讼，以及海关处理的案件，由中级人民法院管辖。
三、起诉流程
准备起诉材料：
- 包括起诉状、证据材料等。起诉状应写明原告、被告的基本信息，诉讼请求，事实与理由等内容。证据材料可能包括向行政机关提出申请的记录、行政机关未予回应的证据、合法权益受损的证明等。
向法院提交起诉材料：
法院受理：
- 法院会对起诉材料进行审查，符合起诉条件的，会予以受理，并通知原告缴纳诉讼费用。
开庭审理：
- 法院受理后，会安排开庭时间，并通知双方当事人参加庭审。在庭审中，双方当事人可以就案件事实和法律适用进行辩论。
法院判决与执行：
- 法院根据庭审情况作出判决。如果判决支持原告的诉讼请求，行政机关应当依法履行相应的职责；如果判决驳回原告的诉讼请求，原告可以在法定期限内提起上诉。
四、注意事项
遵守诉讼时效：
提供充分证据：
- 在诉讼过程中，提供充分的证据来证明行政机关存在不作为的行为以及自己因此遭受的损失。证据应具有真实性、合法性和关联性。
了解法律程序：
- 熟悉行政诉讼的法律程序，包括起诉、受理、审理、判决和执行等环节，以便更好地维护自身权益。
总结与建议：当行政机关存在不作为且满足上述起诉条件时，公民、法人或其他组织完全有权通过行政诉讼来维护自身的合法权益。在实际操作中，建议仔细研究相关法律法规，确保起诉符合法定条件，并准备好充分的证据材料。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。