行政机关不履行重新作出行政行为，申请人是可以起诉的。以下从多个角度为您详细分析：
一、法律依据
根据《中华人民共和国行政诉讼法》第十二条的规定，当申请行政机关履行保护人身权、财产权等合法权益的法定职责时，若行政机关拒绝履行或不予答复，公民、法人或其他组织有权提起行政诉讼。这一法律条款明确赋予了公众在遭遇行政机关不作为（包括不履行重新作出行政行为的职责）时的诉讼救济权利。
二、起诉条件
存在应作为的法定职责：
- 行政机关必须具备法律、法规、规章等明确赋予的职责，且该职责与申请人要求重新作出的行政行为相关。例如，若原行政行为被撤销，行政机关通常负有重新作出行政行为的法定职责。
已向行政机关提出申请：
- 申请人需先向相关行政机关提出履行职责的申请，如要求重新作出行政行为，并提交完整的申请材料或相关线索和证据。这是启动行政诉讼程序的前提之一。
行政机关未履行或未有效履行：
- 行政机关需在合理期限内作出实质性行动，且该行动需达到履行法定职责的效果。若行政机关拖延处理、敷衍塞责或未重新作出行政行为，则视为未有效履行。
利害关系与起诉期限：
- 申请人必须与行政行为有法律上的利害关系，即不作为行为需对申请人的合法权益产生实际影响。同时，起诉需在法定的起诉期限内提出，以确保诉讼的有效性。
属于受案范围和受诉法院管辖：
- 起诉需符合行政诉讼法规定的受案范围，且需向有管辖权的人民法院提起诉讼。这通常涉及地域管辖和级别管辖的规定。
三、起诉准备与证据提交
在起诉前，申请人应收集并整理相关证据材料，以证明行政机关的不作为及其对自身合法权益的影响。这些证据可能包括但不限于：
- 向行政机关提出申请的记录（如申请书、邮寄凭证等）；
- 行政机关未予回应的证据（如未签收的回执、超期未答复的证明等）；
- 合法权益受损的证明（如因行政机关不作为导致的经济损失、社会评价降低等）；
- 其他相关证据（如专家意见、鉴定报告等）。
四、起诉流程与注意事项
准备起诉材料：
- 包括起诉状、证据材料等。起诉状应写明原告、被告的基本信息，诉讼请求（如要求行政机关重新作出行政行为），事实与理由等内容。
向法院提交起诉材料：
法院受理：
- 法院会对起诉材料进行审查，符合起诉条件的，会予以受理，并通知原告缴纳诉讼费用。
开庭审理：
- 法院受理后，会安排开庭时间，并通知双方当事人参加庭审。在庭审中，双方当事人可以就案件事实和法律适用进行辩论。
法院判决与执行：
- 法院根据庭审情况作出判决。如果判决支持原告的诉讼请求，行政机关应当依法履行相应的职责（即重新作出行政行为）；如果判决驳回原告的诉讼请求，原告可以在法定期限内提起上诉。
注意事项：
- 申请人应遵守诉讼时效，通常应在知道或应当知道行政机关不作为之日起六个月内提起诉讼。
- 在诉讼过程中，申请人应提供充分的证据来证明行政机关存在不作为的行为以及自己因此遭受的损失。
综上所述，当行政机关不履行重新作出行政行为的职责时，申请人完全有权通过行政诉讼来维护自身的合法权益。如果您在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。