政府不履行法定职责，公民、法人或其他组织是可以依法向人民法院提起行政诉讼的。以下是对这一问题的详细分析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为行政机关和行政机关工作人员的行政行为侵犯其合法权益，有权依照本法向人民法院提起诉讼。这其中包括了行政机关不履行法定职责的情形。当政府或其部门未按照法律、法规的规定履行其应尽的职责时，就构成了不履行法定职责的行为，公民、法人或其他组织有权对此提起诉讼。

二、诉讼条件

要提起这样的诉讼，通常需要满足以下条件：

1. 存在明确的法定职责：即政府或其部门有明确的法律、法规规定的职责需要履行。
2. 政府或其部门未履行该职责：有证据表明政府或其部门确实没有履行其应尽的职责。
3. 原告与案件有利害关系：即原告是认为政府或其部门的不履行法定职责行为侵犯了其合法权益的公民、法人或其他组织。
4. 在法定期限内提起诉讼：根据行政诉讼法的规定，提起诉讼有一定的期限限制，通常是在知道或应当知道政府或其部门不履行法定职责之日起一定期限内（如六个月内）提起。

三、诉讼后果

如果法院经审理认为政府或其部门确实存在不履行法定职责的行为，且该行为侵犯了原告的合法权益，那么法院可能会作出以下判决：

1. 确认违法：判决确认政府或其部门的不履行法定职责行为违法。
2. 责令履行：判决政府或其部门在一定期限内履行其法定职责。
3. 赔偿损失：如果原告因政府或其部门的不履行法定职责行为遭受了损失，法院还可能判决政府或其部门赔偿原告的损失。

四、实际建议

1. 收集证据：在提起诉讼前，务必收集好能够证明政府或其部门未履行法定职责的证据，如申请书、回复函、现场照片、视频等。
2. 咨询专业律师：虽然我在这里为你提供了一些基本的法律知识和建议，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，在提起诉讼前，最好咨询一位专业的行政诉讼律师，以便更准确地了解你的权利和义务，以及诉讼的可能结果。
3. 注意诉讼时效：不要错过提起诉讼的法定期限，否则可能会丧失诉讼的权利。

如果你遇到了政府不履行法定职责的情况，并且认为这侵犯了你的合法权益，那么你可以依法向人民法院提起行政诉讼。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。