行政部门不履行职责，是可以起诉的。下面我从几个角度详细解释一下这个问题：
一、法律依据
根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为行政机关不依法履行职责，侵犯其合法权益的，有权向人民法院提起诉讼。这是起诉行政部门不履行职责的直接法律依据。
二、起诉条件
主体资格：有权提起诉讼的公民、法人或者其他组织，包括行政行为的相对人以及其他与行政行为有利害关系的主体。如果公民死亡，其近亲属可以提起诉讼；如果法人或者其他组织终止，承受其权利的法人或者其他组织可以提起诉讼。
不履行职责的事实：需要证明行政部门存在不履行职责的行为，比如未按照法定程序处理申请、未在规定期限内作出决定等。
合法权益受损：需要证明由于行政部门的不履行职责，自己的合法权益受到了损害。
三、起诉流程
准备起诉材料：包括起诉状、证据材料等。起诉状应当明确被告、诉讼请求、事实和理由等。
向法院提交起诉材料：将准备好的起诉材料提交给有管辖权的人民法院。
法院受理与审理：法院在收到起诉材料后，会进行审查，符合起诉条件的，会予以受理，并依法进行审理。
四、特殊情形
检察机关提起公益诉讼：在生态环境和资源保护、食品药品安全、国有财产保护、国有土地使用权出让等领域，如果行政机关违法行使职权或者不作为，致使国家利益或者社会公共利益受到侵害的，人民检察院在履行诉前程序后，可以向人民法院提起诉讼。
不依法履行职责的认定标准：在司法实践中，对于“不依法履行职责”的认定，需要考虑多个因素，如行政机关的监管性职责、法定性职责、行为性职责以及程序性职责等。这些标准有助于更准确地判断行政机关是否存在不履行职责的行为。
五、法律后果
如果行政部门被法院认定存在不履行职责的行为，可能会面临被判令履行职责、赔偿损失等法律后果。同时，这也会对行政部门的公信力和形象造成负面影响。
举例说明：
假设某市民向当地环保部门申请查处一家违法排放污染物的企业，但环保部门在规定期限内未作出任何处理决定。此时，该市民可以认为环保部门不履行职责，侵犯了自己的合法权益，有权向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，市民需要提供相关证据证明环保部门存在不履行职责的行为，以及自己因此受到的损害。如果法院认定环保部门确实存在不履行职责的行为，可能会判令环保部门履行职责，并对市民进行相应的赔偿。
因此，如果你遇到行政部门不履行职责的情况，不要犹豫，及时收集证据并向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。如果你有任何法律问题，都可以直接向我咨询。