行政机关信访部门不履职，在符合一定条件下是可以起诉的。以下从多个角度为你详细分析：

法律背景与依据

根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为行政机关和行政机关工作人员的行政行为侵犯其合法权益，有权依照本法向人民法院提起诉讼。这里的“行政行为”是一个广义的概念，它包括了行政机关作出的各种具体行政行为，同时也涵盖了行政机关不履行法定职责的情形。信访部门作为行政机关的一部分，如果其不履行法定职责，同样可能构成行政诉讼的受案范围。

信访部门不履职的具体情形

1. 未依法处理信访事项：如果信访部门在收到信访事项后，未按照法定程序进行登记、受理、交办、转送、承办、督办等环节，或者未在法定期限内给予信访人答复，就可能构成不履职。

2. 推诿、敷衍、拖延信访事项办理：信访部门在处理信访事项时，如果存在推诿责任、敷衍了事、拖延时间等行为，导致信访人的合法权益得不到及时有效的保护，也属于不履职的情形。

3. 未依法履行其他法定职责：除了处理信访事项外，信访部门还可能承担其他法定职责，如提供信访咨询、指导信访人依法信访等。如果信访部门未依法履行这些职责，同样可能构成不履职。

起诉的条件与流程

1. 起诉条件：

   • 信访人认为信访部门不履职的行为侵犯了其合法权益；
   • 信访人具有明确的诉讼请求和事实根据；
   • 信访人属于与信访部门不履职行为有利害关系的公民、法人或者其他组织；
   • 信访人提起诉讼的时间在法定起诉期限内。

2. 起诉流程：

   • 信访人需要准备起诉状，明确被告（即信访部门）、诉讼请求、事实和理由等；
   • 信访人需要向有管辖权的人民法院提交起诉状和相关证据材料；
   • 人民法院在收到起诉状后，会进行审查，符合起诉条件的，会予以立案；
   • 立案后，人民法院会依法进行审理，并作出判决。

可能的法律后果

如果人民法院经审理认为信访部门确实存在不履职的行为，且该行为侵犯了信访人的合法权益，那么人民法院可能会判决信访部门在一定期限内履行法定职责，或者采取其他补救措施。如果信访部门拒不履行人民法院的判决，还可能面临强制执行等法律后果。

注意事项与建议

1. 保留证据：信访人在认为信访部门不履职时，应尽可能保留相关证据，如信访事项的受理回执、交办单、答复意见等，以便在起诉时提供有力的证据支持。

2. 咨询专业律师：虽然我在这里为你提供了基本的法律知识和建议，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，在决定起诉前，建议你咨询专业律师，以便更准确地评估案件的胜诉可能性和风险。不过，既然你已经在向我咨询，我会尽我所能为你提供专业的法律帮助。

3. 理性维权：在维权过程中，信访人应保持理性，避免采取过激行为或违法手段。通过法律途径维护自己的合法权益是最有效、最合法的方式。

如果你有进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，可以直接向我咨询。