公安机关不履行职责，在符合一定条件下是可以起诉的。具体来说，当公安机关在应当履行其法定职责的情况下却未依法作出相应具体行政行为，即构成“行政不作为”，此时公民、法人或其他组织有权提起行政诉讼以维护自身合法权益。以下是对此问题的详细解析：
一、可诉的行政不作为情形
申请保护人身权、财产权未得到回应：
- 当公民面临人身威胁、暴力侵害或财产遭受盗窃、抢劫等正在进行的侵害时，向公安机关提出保护申请，若公安机关拒绝履行保护职责或不予答复，导致申请人权益受损，可提起行政诉讼。
- 示例：甲报警称遭乙殴打，公安机关未出警致甲受伤，甲可对公安机关的不作为提起行政诉讼。
行政许可申请未处理：
- 在涉及公安机关负责的行政许可事项（如特种行业许可证、驾驶证等）上，申请人依法提交材料且符合条件，但公安机关无正当理由逾期不作出许可决定或不予答复，申请人可提起行政诉讼。
二、提起行政诉讼的条件
- 原告适格：必须是认为公安机关不作为侵犯其合法权益的公民、法人或其他组织。
- 有明确被告：需明确指出不作为的公安机关具体名称。
- 有具体诉讼请求和事实根据：清晰说明要求公安机关履行何种职责，并提供公安机关不作为的事实证据。
- 属于法院受案范围和管辖：确保所诉事项在行政诉讼受案范围内，并向有管辖权的法院提起诉讼。
三、诉讼前的准备与步骤
- 尝试沟通解决：在提起诉讼前，建议先与公安机关沟通，要求其履行职责，并记录沟通过程及结果作为证据。
- 收集证据：收集证明公安机关不作为的证据，包括报案记录、申请材料、沟通记录等。
- 撰写诉状：明确诉讼请求、事实和理由，依据相关法律法规撰写行政起诉状。
- 提交诉讼：将诉状及相关证据提交至有管辖权的人民法院。
四、法院审理与判决
- 法院将审查诉讼请求、事实和证据，判断公安机关是否存在行政不作为及其合法性。
- 若法院认定公安机关存在违法的行政不作为，将判决其在一定期限内履行职责或赔偿损失。
五、注意事项
- 若公安机关已履行法定职责，仅对履行方式、程度等有异议，不构成真正的不作为。
- 公安机关对报案等情况进行合理审查后认为不符合启动条件而未采取行动，提起行政诉讼可能不被支持。
总结与建议：面对公安机关的不履行职责行为，在符合条件的情况下，公民、法人或其他组织有权提起行政诉讼以维护自身权益。在提起诉讼前，建议尝试沟通解决并收集充分证据，以确保诉讼的成功率。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。