结论：若行政机关不履行法定监管职责，并且你满足起诉条件，你可以提起行政诉讼来寻求法律救济。以下是对此问题的详细分析：
一、起诉条件
存在法定监管职责：
- 必须明确行政机关具有法律、法规或规章规定的具体监管职责。例如，环保部门负责环境监管，市场监管部门负责市场秩序监管等。
- 你需要查阅相关法律法规，确认行政机关确实负有该监管职责。
行政机关未履行职责：
- 行政机关在有能力履行职责的情况下，却未采取相应行动或措施，即构成未履行法定职责。
- 若因不可抗力等特殊原因无法履行职责，则可能不构成违法。
提出申请（部分情况除外）：
- 通常，你需要先向行政机关提出履行监管职责的申请，并给予其合理的处理期限。
- 在紧急情况下，如涉及生命、健康等重大权益，可直接起诉而无需先行申请。
二、起诉流程
准备起诉材料：
- 起诉状：包括你的基本信息、被告行政机关信息、诉讼请求、事实和理由。需详细阐述行政机关应履行监管职责的依据、申请情况及未履行职责的事实。
- 证据材料：包括法律法规文本（证明行政机关的法定职责）、申请书复印件及邮寄凭证（证明已向行政机关提出申请）、与行政机关的沟通记录及相关决定（证明其未履行职责）、其他支持诉讼请求的证据（如损失证明材料）。
确定管辖法院：
- 根据《行政诉讼法》，一般由最初作出行政行为的行政机关所在地人民法院管辖。
- 经复议的案件，可由复议机关所在地法院管辖。
- 对国务院部门或县级以上地方政府所作的行政行为提起诉讼，以及海关处理的案件，由中级人民法院管辖。
立案与审理：
- 立案：将起诉材料提交至有管辖权的法院立案窗口。法院会进行初步审查，符合立案条件则受理并通知缴纳诉讼费；否则，会告知补充或修改材料。
- 审理：包括送达与答辩（法院将起诉状副本送达被告行政机关，要求其提交答辩状及相关证据）、开庭审理（双方当事人在法庭上陈述、举证、质证和辩论）、判决（法院根据查明的事实和法律规定作出判决）。
三、注意事项
时效问题：
- 你需在知道或应当知道行政机关未履行法定监管职责之日起六个月内提起诉讼，逾期法院可能不予受理。
法律依据：
- 起诉前务必充分了解相关法律法规，确保诉讼请求有充分法律依据。
法律后果：
- 若法院认定行政机关未履行法定监管职责，会判决其在一定期限内履行或采取其他补救措施。
- 若行政机关仍不履行判决，你可能需要申请法院强制执行。
四、实际案例参考
假设某环保部门未对一家违法排放污染物的企业进行监管，导致周边环境受到严重污染。周边居民在多次向环保部门反映无果后，决定提起行政诉讼。他们准备了详细的起诉状和证据材料，包括环保部门的法定职责、向环保部门提出的申请及沟通记录、企业违法排放的证据等。最终，法院判决环保部门在一定期限内对企业进行监管，并采取了相应的补救措施。
总结与建议：若你认为行政机关未履行法定监管职责，且满足起诉条件，可以积极准备起诉材料并提起行政诉讼。在整个过程中，务必确保起诉材料的完整性和准确性，并遵循正确的起诉流程。若有问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。