结论：对不履行法定职责提起行政复议后，通常还能再提起行政诉讼，但具体能否提起需根据复议结果及法律规定来判断。以下是对此问题的详细解答：

一、一般原则

1. 自由选择权：根据《中华人民共和国行政诉讼法》及相关法律规定，公民、法人或其他组织对行政行为不服时，有权选择申请行政复议或直接提起行政诉讼。若先选择了行政复议，在复议决定作出后，若仍对结果不满，通常可以依法向人民法院提起行政诉讼。

2. 例外情况：

   • 复议前置：在某些特定情况下，如法律规定必须先经过行政复议才能提起诉讼（即“复议前置”情形），则需在完成行政复议程序后才能进入诉讼阶段。
   • 复议终局：极少数涉及自然资源所有权等特定事项的复议决定具有终局效力，不可再行诉讼。

二、具体条件与流程

1. 复议结果类型：

   • 复议维持原行政行为：若复议机关维持了原行政行为，当事人可以直接起诉原行政行为。
   • 复议改变原行政行为：若复议机关改变了原行政行为，则需以复议机关为被告，起诉变更后的决定。
   • 复议机关逾期未处理：若复议机关逾期未作决定，当事人可以选择起诉原行政行为或复议机关的不作为。

2. 起诉期限要求：

   • 一般情况下，需在收到复议决定书之日起十五日内提起诉讼。
   • 若复议机关逾期未作决定，起诉期限自期满之日起计算。

3. 管辖法院确定：

   • 通常由最初作出行政行为的行政机关所在地法院管辖。
   • 经复议的案件也可由复议机关所在地法院管辖。

三、实际操作建议

1. 证据材料准备：在提起行政诉讼时，需提交复议决定书、起诉状及相关证据，以证明行政行为违法或不当。

2. 法律适用依据：主要依据《行政诉讼法》《行政复议法》及司法解释，部分领域存在特别规定，需仔细查阅相关法律法规。

3. 专业咨询：由于行政复议和行政诉讼涉及复杂的法律程序和实体问题，建议在提起复议或诉讼前咨询专业律师，以确保自身权益得到有效维护。

举例说明：假设某公民对某行政机关不履行法定职责的行为不服，先申请了行政复议。若复议机关维持了原行政行为，该公民可以在收到复议决定书之日起十五日内，向有管辖权的人民法院提起行政诉讼，要求法院撤销原行政行为并责令行政机关履行法定职责。

最后提醒：在面临行政争议时，选择行政复议还是行政诉讼，以及复议或诉讼后的进一步行动，都需根据具体情况和法律规定来决定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。