结论：在合同到期六个月后公司才通知续签，而员工选择不续签的情况下，员工可以要求的赔偿主要取决于公司是否存在过错以及过错的具体情形。一般来说，若公司未及时续签且未支付相应补偿，员工可能有权要求支付未签劳动合同期间的双倍工资差额（但需注意时效问题），以及可能的经济补偿金（若符合法定情形）。不过，具体赔偿项目和金额需结合实际情况判断。以下是对此问题的详细分析：
一、未及时续签劳动合同的法律后果
双倍工资差额：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。虽然此条款直接针对的是用工初期未签合同的情况，但类比到合同到期未及时续签的情形，若公司长时间未与员工续签合同，且员工继续在公司工作，员工理论上可以主张未签合同期间的双倍工资差额。但需注意，此主张可能受到仲裁时效的限制，一般应从员工知道或应当知道权利被侵害之日起计算一年。
视为已订立无固定期限劳动合同：
- 若用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。在合同到期未及时续签的情境下，若公司超过一年仍未与员工续签，则可能被视为已订立无固定期限劳动合同，但这并不直接涉及赔偿问题，而是对劳动关系的一种法律认定。
二、员工选择不续签时的赔偿问题
经济补偿金：
- 一般情况下，若员工因个人原因选择不续签劳动合同，公司无需支付经济补偿金。但若公司存在过错，如未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件、未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等，员工因此选择不续签的，公司应当支付经济补偿金。经济补偿金的计算标准通常为每工作一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
其他赔偿：
- 除了经济补偿金外，若公司因未及时续签合同给员工造成其他损失的（如员工因未签合同而无法享受某些福利待遇、因公司过错导致员工失业等），员工还可以要求公司赔偿相应损失。但这类赔偿需员工提供充分证据证明损失的存在及与公司未及时续签合同之间的因果关系。
三、实际操作建议
- 与公司协商：首先，建议员工与公司进行协商，看是否能就赔偿问题达成一致意见。
- 收集证据：若协商无果，员工应收集相关证据（如劳动合同、工资条、工作证明、未续签合同的通知等），以证明公司存在过错及自己因此遭受的损失。
- 申请劳动仲裁：若证据充分，员工可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付相应的赔偿。
- 提起诉讼：若对劳动仲裁结果不满，员工还可以向法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。
最后，每个案件的具体情况都有所不同，因此上述分析仅供参考。若您遇到类似问题，建议直接向我咨询，以便我能根据您的具体情况提供更准确的法律建议。