结论：劳动合同过期六个月后续签，员工在一般情况下不可以直接要求赔偿，但在特定情形下，如用人单位存在过错或未履行相关义务，员工可能有权要求赔偿或主张相关权益。以下从不同角度进行分析：
一、劳动合同到期后续签的一般原则
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，用人单位与劳动者可以协商续签劳动合同。如果双方同意续签，则应当重新签订书面劳动合同。在一般情况下，劳动合同到期后续签并不涉及赔偿问题，因为续签是双方自愿的行为，且没有违反法律法规的强制性规定。
二、员工可能要求赔偿的特定情形
用人单位未及时续签且存在过错：
- 如果劳动合同到期后，用人单位未及时与员工续签劳动合同，并且这种未续签是由于用人单位的过错导致的（如故意拖延、拒绝续签等），那么员工可能有权要求用人单位支付未签劳动合同期间的双倍工资差额（但需注意，这一权利通常受到一定时间限制，如自用工之日起超过一个月不满一年未签劳动合同的，才需支付双倍工资）。然而，在劳动合同已经到期六个月后才续签的情况下，这一权利可能因时间过长而丧失，但具体还需根据当地法律法规和司法实践来判断。
- 特殊情形：若因用人单位原因导致劳动合同到期后未续签，且员工在此期间继续为用人单位提供劳动，用人单位未提出异议的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。但即便如此，员工仍有权要求用人单位在合理期限内签订书面劳动合同，若用人单位拒绝，员工可能有权解除劳动合同并要求赔偿。
用人单位降低劳动条件导致员工拒绝续签：
- 如果用人单位在续签劳动合同时提出降低劳动条件（如降低工资、减少福利待遇等），而员工拒绝续签的，根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位应当向员工支付经济补偿。经济补偿的计算标准通常按照员工在本单位工作的年限和月工资来确定。
用人单位违法解除或终止劳动合同：
- 虽然这一情形与劳动合同到期后续签不直接相关，但值得注意的是，如果用人单位在劳动合同到期后违法解除或终止劳动合同（如无正当理由拒绝续签、以不合法理由解除劳动合同等），员工则有权要求用人单位支付赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿的两倍。
三、法律建议
对于员工而言：
- 如果劳动合同到期后用人单位未及时续签，员工应主动与用人单位沟通，了解未续签的原因，并要求用人单位尽快续签或给出明确答复。
- 如果用人单位提出降低劳动条件或拒绝续签，员工应保留相关证据（如劳动合同、工资单、沟通记录等），以便在必要时维护自己的合法权益。
- 在任何情况下，员工都应了解自己的法律权益和维权途径，必要时可寻求专业律师的帮助。
对于用人单位而言：
- 用人单位应严格遵守法律法规的规定，及时与员工续签劳动合同，避免不必要的法律风险。
- 在续签劳动合同时，用人单位应确保劳动条件不低于原合同标准，并尊重员工的意愿和选择。
- 如果因特殊原因无法及时续签劳动合同，用人单位应与员工进行充分沟通，并尽快解决续签问题。
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