结论：您在私人店工作4年多未签劳动合同被辞退，可以通过协商、申请劳动仲裁等途径来维护自己的合法权益，要求用人单位支付未签劳动合同的双倍工资差额、经济补偿金等。下面我将从多个角度为您详细分析。
一、关于未签劳动合同的双倍工资差额
根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。您在私人店工作了4年多，但一直未签订劳动合同，因此，您有权要求用人单位支付这4年多中除第一个月外的其余时间的双倍工资差额。不过，需要注意的是，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。所以，对于超过一年时效的部分，可能无法得到支持，但具体还需结合实际情况和当地仲裁机构或法院的裁判尺度来判断。
二、关于被辞退的经济补偿金
若用人单位是合法辞退：即用人单位因您存在严重违反规章制度、不能胜任工作等法定情形而辞退您，那么用人单位需要按照您在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付经济补偿金。您工作了4年多，因此应获得至少4个月工资的经济补偿金。
若用人单位是违法辞退：即用人单位没有法定理由而辞退您，或者辞退您的理由不符合法律规定，那么用人单位需要按照经济补偿金的两倍向您支付赔偿金。也就是说，您应获得至少8个月工资的赔偿金。
三、具体操作建议
收集证据：首先，您需要收集能够证明您与用人单位存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等。这些证据将有助于您在后续的协商或仲裁中证明自己的权益。
与用人单位协商：在收集到足够证据后，您可以尝试与用人单位进行协商，要求其支付未签劳动合同的双倍工资差额和经济补偿金或赔偿金。如果协商成功，那么您可以与用人单位签订书面协议，明确双方的权利和义务。
申请劳动仲裁：如果协商无果，那么您可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁。在申请仲裁时，您需要提交仲裁申请书、证据材料等文件。仲裁机构将依法进行审理，并作出裁决。如果仲裁裁决支持了您的请求，那么用人单位需要按照裁决结果向您支付相应的款项。
提起诉讼：如果您对仲裁裁决不服，或者用人单位在仲裁裁决生效后仍不履行支付义务，那么您可以向人民法院提起诉讼。法院将依法进行审理，并作出判决。如果判决支持了您的请求，那么用人单位需要按照判决结果向您支付相应的款项。
在整个过程中，我建议您保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。