结论前置：公司以您请20天病假为由辞退您，若该行为不符合法律规定，您有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。以下从不同角度为您详细分析：
病假权益与辞退合法性判断
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。医疗期的长度根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限确定，一般为3个月到24个月。您在公司工作五个月，若符合医疗期规定，公司在此期间辞退您属于违法解除劳动合同。
- 若您的病假不符合医疗期规定（如病情未达到需长时间休息的程度，或未按照公司规定流程请假等），公司辞退您可能有一定合理性，但需进一步审查公司规章制度及辞退程序是否合法。
公司规章制度与辞退程序审查
- 公司辞退员工需依据合法有效的规章制度，且该制度需经过民主程序制定并公示或告知员工。若公司规章制度中未明确规定请病假达到一定天数即可辞退，或该规定本身违法（如与法律法规相抵触），则公司辞退行为违法。
- 公司辞退员工需遵循法定程序，如提前通知、听取员工申辩、出具书面辞退通知等。若公司未履行这些程序，即使员工存在过错，辞退行为也可能因程序违法而被认定为无效。
您的应对措施
- 收集证据：保留好病假证明、公司辞退通知、劳动合同、工资条等证据，以证明您的病假合法性及公司辞退行为的违法性。
- 与公司协商：尝试与公司沟通，要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。若公司拒绝，可进一步采取法律手段。
- 申请劳动仲裁：向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金（一般为经济补偿金的两倍）或继续履行劳动合同。
- 提起诉讼：若对仲裁结果不满，可在收到仲裁裁决书之日起15日内向人民法院提起诉讼。
注意事项
- 在整个过程中，保持冷静和理性，避免与公司发生不必要的冲突。
- 及时咨询专业律师（即向我咨询），以获取更具体的法律建议和指导。
- 注意时效问题，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我提问。