结论：公司承包出去后，员工是否可以要求续签无固定期限劳动合同，需根据具体情况来判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、承包性质与劳动关系
内部承包：如果公司是将业务或项目内部承包给某个部门或团队，且该部门或团队的员工仍与公司保持劳动关系，那么这些员工在符合签订无固定期限劳动合同的条件下（如连续工作满十年、连续订立二次固定期限劳动合同等），是有权要求续签无固定期限劳动合同的。
外部承包：如果公司是将业务或项目承包给外部的独立法人或个体工商户，且原公司员工被转至承包方工作，那么这些员工与原公司的劳动关系即告终止。此时，他们能否与承包方签订无固定期限劳动合同，将取决于他们与承包方之间是否形成了新的劳动关系，以及是否满足签订无固定期限劳动合同的条件。
二、签订无固定期限劳动合同的条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，员工在以下情况下有权要求签订无固定期限劳动合同：
连续工作满十年：员工在同一用人单位连续工作满十年，且提出或者同意续订、订立劳动合同的，除员工提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
连续订立二次固定期限劳动合同：员工与用人单位连续订立二次固定期限劳动合同，且员工没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，除员工提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
其他情形：如用人单位自用工之日起满一年不与员工订立书面劳动合同的，视为用人单位与员工已订立无固定期限劳动合同。
三、实际操作建议
了解承包性质：员工应首先了解公司承包的具体性质，是内部承包还是外部承包，以及自己是否仍与公司保持劳动关系。
评估自身条件：员工应评估自己是否满足签订无固定期限劳动合同的条件，如连续工作年限、劳动合同订立次数等。
与用人单位沟通：在满足条件的情况下，员工应与用人单位进行沟通，表达自己希望续签无固定期限劳动合同的意愿。
寻求法律援助：如果用人单位拒绝续签无固定期限劳动合同，员工可以寻求法律援助，通过劳动仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。
进一步思考：在处理此类问题时，员工应充分了解自己的权益和用人单位的义务，同时保持与用人单位的沟通，以和平、理性的方式解决争议。如果遇到复杂情况或不确定如何处理，建议直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律建议。