结论：在厂内叉车撞私家车的情况下，赔偿责任的承担需根据具体情况来判断，一般来说，若员工在执行工作任务时发生事故，通常由公司承担赔偿责任；若员工存在故意或重大过失，公司可能向员工追偿；若事故非因工作原因发生，则可能由员工个人承担赔偿责任。以下是对各种情况的详细分析：
一、员工执行工作任务时发生事故
公司承担赔偿责任：
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。这意味着，如果叉车司机是在执行工作任务（如搬运货物）时撞到了私家车，那么赔偿责任应由公司承担。
- 实际情况：在厂区内，叉车通常用于搬运货物等生产活动，因此，如果事故发生在叉车执行此类任务时，公司应负责赔偿私家车的损失。
员工存在故意或重大过失时的追偿：
- 法律依据：同样根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。
- 实际情况：如果叉车司机在事故中存在故意违章操作或重大过失（如酒后驾驶、超速行驶等），公司在赔偿私家车损失后，有权向司机追偿部分或全部损失。
二、非因工作原因发生事故
- 员工个人承担赔偿责任：
- 法律依据：如果事故并非因执行工作任务而发生，而是员工个人行为（如私自驾驶叉车外出、在非工作时间驾驶叉车等）导致的，那么赔偿责任应由员工个人承担。
- 实际情况：在这种情况下，公司通常不承担赔偿责任，因为事故与员工的工作任务无关。员工需要自行承担私家车的维修费用等损失。
三、特殊情况考虑
- 公司管理责任：即使事故由员工个人行为导致，如果公司存在管理疏忽（如未对叉车进行定期维护、未对员工进行安全培训等），公司也可能需要承担一定的管理责任。但这通常是在员工个人行为与公司管理疏忽共同导致事故发生的情况下才会考虑。
- 保险理赔：如果公司或员工购买了相关保险（如车辆保险、雇主责任险等），那么赔偿问题可能涉及保险理赔。在这种情况下，应根据保险合同的约定来确定赔偿责任的承担。
建议：在处理此类事故时，建议首先明确事故发生的原因和责任归属。如果事故发生在员工执行工作任务时，且员工不存在故意或重大过失，那么公司应承担赔偿责任。如果员工存在故意或重大过失，公司可以在赔偿后向员工追偿。如果事故非因工作原因发生，则由员工个人承担赔偿责任。在处理过程中，可以寻求专业律师的帮助以确保权益得到妥善维护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。