可以申请赔偿。针对您在私人超市工作14个月未交保险的情况，以下从不同角度为您详细分析：

1. 从社会保险法的角度 根据《中华人民共和国社会保险法》的规定，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记，并按时足额缴纳社会保险费。这包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险。您在私人超市工作了14个月，超市未为您缴纳社会保险，这明显违反了法律规定。您有权要求超市为您补缴这14个月的社会保险费用。如果超市拒绝补缴，您可以向当地的社会保险行政部门投诉，由社会保险行政部门责令超市限期缴纳或者补足，并自欠缴之日起，按日加收万分之五的滞纳金；逾期仍不缴纳的，由有关行政部门处欠缴数额一倍以上三倍以下的罚款。

2. 从劳动合同法的角度 如果超市未与您签订书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。您在超市工作了14个月，如果超市一直未与您签订书面劳动合同，那么您有权要求超市支付您11个月的双倍工资差额（因为第一个月不支付双倍工资）。同时，由于超市未依法为您缴纳社会保险，您还可以依据《劳动合同法》第三十八条的规定，以超市未依法为劳动者缴纳社会保险费为由，解除与超市的劳动合同，并要求超市支付经济补偿。经济补偿的标准是按照您在超市工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。

3. 实际操作建议 在申请赔偿的过程中，您需要收集一些证据来证明您与超市之间存在劳动关系以及超市未为您缴纳社会保险的事实。这些证据可以包括工资条、工作证、考勤记录、同事证言等。收集到证据后，您可以先与超市进行协商，要求超市为您补缴社会保险并支付相应的赔偿。如果协商不成，您可以向当地的社会保险行政部门投诉或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。

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