结论：能否申请补偿需分情况讨论，主要取决于留职停薪期间原劳动关系状态、新事业单位用工性质（是否为编制内/编制外）、辞退具体原因及程序合法性。以下是具体分析：

1. 留职停薪期间原劳动关系是否存续
   若留职停薪期间您与原单位劳动关系未解除（如原单位仍为您缴纳社保、保留岗位），则您与事业单位的用工关系可能被认定为劳务关系而非劳动关系。此时事业单位辞退您，一般不适用《劳动合同法》的补偿规则，但若因事业单位单方违约（如未按约定提供工作条件）造成您损失，可主张违约赔偿。
   若留职停薪期间原单位已与您解除劳动关系（如办理离职手续、停缴社保），则您与事业单位建立的新劳动关系受《劳动合同法》保护，辞退补偿需按劳动关系处理。

2. 事业单位用工性质：编制内 vs 编制外

   • 编制内人员：事业单位与编制内员工的用工关系受《事业单位人事管理条例》调整，辞退需符合法定事由（如考核不合格、严重违纪等），且需经法定程序（如提前30日书面通知、听取工会或职工意见等）。若事业单位无正当理由辞退，您可申请人事争议仲裁，要求继续履行合同或支付赔偿金（标准为经济补偿金的2倍）。
     
   • 编制外人员：若您与事业单位签订的是劳动合同，则适用《劳动合同法》。根据《劳动合同法》第46条，若事业单位因“劳动者不能胜任工作，经过培训或调岗仍不能胜任”“客观情况发生重大变化导致合同无法履行”等法定情形辞退您，需支付经济补偿金（工作每满1年支付1个月工资）；若未提前30日通知，还需额外支付1个月工资（代通知金）。若事业单位违法辞退（如无合法理由、未履行法定程序），您可主张赔偿金（标准为经济补偿金的2倍）。

3. 辞退是否因“年龄大”构成歧视
   若事业单位以“年龄大”为由直接辞退，且该理由与工作能力、岗位需求无关，可能涉嫌年龄歧视，违反《劳动法》第12条“劳动者就业不因民族、种族、性别、宗教信仰不同而受歧视”及《就业促进法》第27条“用人单位招用人员，除国家规定的不适合妇女的工种或者岗位外，不得以性别为由拒绝录用妇女或者提高对妇女的录用标准；用人单位录用女职工，不得在劳动合同中规定限制女职工结婚、生育的内容”。此时您可主张辞退无效，要求继续履行合同或索赔。
   但需注意：若“年龄大”导致您无法胜任岗位（如体力要求高的岗位），且事业单位能证明已提供培训或调岗机会，则可能不构成歧视。

4. 关键证据收集建议
   无论哪种情况，您需重点收集以下证据：

   • 留职停薪期间与原单位的协议（证明劳动关系状态）；
     
   • 与事业单位签订的合同（明确用工性质、岗位、薪资等）；
     
   • 辞退通知（书面或录音、聊天记录等，证明辞退事实及理由）；
     
   • 工作表现证明（如考核记录、培训记录等，反驳“不能胜任工作”主张）。

行动建议：

1. 优先与事业单位协商，明确辞退理由及补偿方案；
   
2. 若协商无果，根据用工性质向劳动争议仲裁委员会（编制外）或人事争议仲裁委员会（编制内）申请仲裁；
   
3. 对仲裁结果不服的，可向法院起诉。
   

如有进一步细节（如合同条款、辞退具体理由等），可向我补充说明，我会为您细化分析。