用人单位解除劳动合同后未依法支付经济补偿，工会有权要求用人单位纠正，并可以支持劳动者通过法律途径维护自身权益。以下从不同角度详细分析：

一、工会的法定职责与权利

根据《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，工会是职工自愿结合的工人阶级的群众组织，代表职工的利益，依法维护职工的合法权益。在用人单位解除劳动合同后未依法支付经济补偿的情况下，工会具有以下权利和职责：

1. 监督与纠正：工会有权对用人单位的违法行为进行监督，并要求用人单位纠正其违法行为，包括未依法支付经济补偿的行为。
2. 支持维权：工会可以支持劳动者通过法律途径维护自身权益，如提供法律咨询、协助劳动者申请劳动仲裁或提起诉讼等。

二、工会的具体行动方式

1. 协商与调解：工会可以首先尝试与用人单位进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。如果协商无果，工会可以介入调解，帮助双方达成和解协议。
2. 法律途径：如果协商和调解均无法解决问题，工会可以支持劳动者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或者向人民法院提起诉讼。在此过程中，工会可以提供必要的法律援助和证据支持。

三、劳动者的后续行动建议

1. 收集证据：劳动者应收集与用人单位解除劳动合同及未支付经济补偿相关的证据，如劳动合同、解除劳动合同通知书、工资单等。
2. 及时维权：劳动者应在知道或应当知道其权益被侵害之日起一年内，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，以免超过诉讼时效。
3. 寻求工会支持：劳动者可以积极寻求工会的支持和帮助，工会将依法维护劳动者的合法权益。

四、法律后果与风险提示

1. 用人单位的法律责任：如果用人单位未依法支付经济补偿，劳动行政部门将责令其限期支付；逾期不支付的，将加付赔偿金。同时，用人单位还可能面临劳动争议仲裁或诉讼的风险。
2. 劳动者的风险：劳动者在维权过程中应注意保留好相关证据，并遵循法律程序进行维权。如果劳动者采取过激行为或违反法律程序，可能会承担相应的法律责任。

综上所述，用人单位解除劳动合同后未依法支付经济补偿时，工会有权要求用人单位纠正并支持劳动者通过法律途径维护自身权益。劳动者应积极收集证据、及时维权，并寻求工会的支持和帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。