结论前置：有劳动合同的情况下，即使私人老板删除了考勤打卡记录，您仍然可以申请劳动仲裁，但考勤打卡记录的缺失可能会对您的部分诉求产生一定影响。下面我将从多个角度为您详细分析。
一、劳动合同在劳动仲裁中的作用
劳动合同是劳动者与用人单位确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。在劳动仲裁中，劳动合同是证明劳动关系存在的重要证据。根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，发生劳动争议，当事人对自己提出的主张，有责任提供证据。因此，您手中的劳动合同是申请劳动仲裁的有力依据。
二、考勤打卡记录缺失的影响
考勤打卡记录是证明劳动者出勤情况的重要证据，对于计算工资、加班费等诉求具有关键作用。然而，如果私人老板删除了考勤打卡记录，这并不意味着您无法申请劳动仲裁或无法获得应有的权益。因为：
其他证据的存在：除了考勤打卡记录外，您还可以提供其他证据来证明您的出勤情况，如工作证、工作服、同事证言、工作记录、电子邮件、短信等。这些证据可以形成证据链，共同证明您的出勤和工作时间。
用人单位的举证责任：在劳动争议中，用人单位负有举证责任。如果用人单位无法提供完整的考勤记录或其他证据来反驳您的主张，那么仲裁机构或法院可能会倾向于支持您的诉求。
三、申请劳动仲裁的建议
收集其他证据：除了劳动合同外，尽可能收集其他能够证明您出勤和工作情况的证据。这些证据将有助于支持您的仲裁请求。
明确仲裁请求：在申请劳动仲裁时，您需要明确自己的仲裁请求，如要求支付工资、加班费、经济补偿金等。同时，您需要提供相应的证据来支持这些请求。
咨询专业律师：虽然我已经为您提供了一些基本的法律建议，但劳动仲裁涉及的法律问题可能比较复杂。因此，我建议您在申请劳动仲裁前咨询专业律师，以便更好地维护自己的权益。
四、可能的法律后果
如果仲裁机构或法院认定您的诉求成立，那么用人单位可能需要支付您相应的工资、加班费、经济补偿金等。如果用人单位拒绝履行仲裁裁决或法院判决，您还可以向法院申请强制执行。
总结来说，即使私人老板删除了考勤打卡记录，您仍然可以凭借劳动合同和其他证据申请劳动仲裁。在申请过程中，您需要尽可能收集其他证据来支持自己的诉求，并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。