结论前置：即使没有签订书面劳动合同，但只要有打卡工资等能够证明与用人单位存在事实劳动关系的证据，你仍然有权申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
一、事实劳动关系的证明
在未签订书面劳动合同的情况下，你需要通过收集其他证据来证明与用人单位之间存在事实劳动关系。打卡工资记录是其中的重要一项，它能够直接反映你从用人单位获得劳动报酬的情况。除此之外，你还可以收集以下证据：
- 工资支付凭证：除了打卡工资记录，还可以包括工资条、银行工资流水等，这些都能证明用人单位向你支付了工资。
- 工作证件与身份标识：如工作证、服务证、上岗证等，这些证件上通常会有你的姓名、职务以及用人单位的信息，是证明劳动关系的有力证据。
- 考勤与排班记录：除了打卡记录，还可以包括排班表、请假条等，这些都能证明你按照用人单位的要求提供了劳动。
- 社会保险缴费记录：如果用人单位为你缴纳了社会保险，那么社会保险缴费记录也是证明劳动关系的重要依据。
- 同事证言与其他辅助证据：同事的证言以及你代表用人单位签订的文件、招聘登记表、报名表等，都可以作为辅助证据来证明劳动关系。
二、劳动仲裁的申请流程
在确认与用人单位存在事实劳动关系后，你可以按照以下流程申请劳动仲裁：
- 准备材料：撰写劳动仲裁申请书，明确申请人与被申请人的基本信息、仲裁请求、事实与理由，并整理好相关证据材料。
- 提交申请：将仲裁申请书及相关证据提交至有管辖权的劳动争议仲裁委员会，通常是合同履行地或用人单位注册地的仲裁机构。
- 等待受理与开庭：仲裁委员会将对申请进行审查，决定是否受理。一旦受理，将安排开庭并通知双方当事人。你需要按时出席庭审，陈述事实与主张。
三、劳动仲裁中的赔偿请求
在劳动仲裁中，你可以提出以下赔偿请求：
- 双倍工资赔偿：根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应向劳动者每月支付二倍的工资（最多支持11个月）。因此，你可以要求用人单位支付未签劳动合同期间的双倍工资差额。
- 补缴社会保险：如果用人单位未为你缴纳社会保险，你可以要求用人单位补缴在职期间未缴纳的社会保险费用。
- 经济补偿金：如果因用人单位未签劳动合同导致你离职，你还可以要求用人单位按工作年限支付经济补偿金。
四、注意事项
- 仲裁时效：你申请劳动仲裁的时效一般为一年，自知道或应当知道权利被侵害之日起计算。因此，你需要及时行使权利，避免错过法定时效。
- 证据保留：在申请劳动仲裁前，你需要充分收集和保留与劳动关系相关的所有证据，以确保仲裁请求的成立。
- 法律程序：在劳动仲裁过程中，你需要遵守法律程序，如实陈述事实，提供证据，并积极配合仲裁庭的工作。
举例说明：假设你在某公司工作了8个月，但一直未签订书面劳动合同。公司每月通过银行转账方式向你支付工资，并且你有打卡记录作为出勤证明。现在，你因个人原因想要离职，并希望公司支付未签劳动合同期间的双倍工资差额。在这种情况下，你可以收集银行工资流水、打卡记录等证据，并撰写劳动仲裁申请书，向有管辖权的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
进一步思考：在申请劳动仲裁前，你可以先尝试与用人单位进行协商，看是否能够达成和解。如果协商无果，再考虑申请劳动仲裁。同时，你也可以咨询我，以获取更具体的法律指导和帮助。