核心结论：超过60岁在工厂做保洁被无理由开除，您可以通过协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等方式维权，具体需结合您与工厂的用工关系性质来判断。以下是详细分析：
一、判断用工关系性质
- 若您与工厂构成劳动关系
- 法律依据：根据《劳动合同法》等相关规定，用人单位解除劳动合同需有法定理由，如劳动者严重违反规章制度、不能胜任工作等。无理由开除属于违法解除劳动合同。
- 维权方式：
- 协商：您可以先与工厂进行友好协商，要求工厂说明开除理由，并争取恢复劳动关系或获得相应的经济补偿。
- 申请劳动仲裁：若协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求工厂支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 提起诉讼：对劳动仲裁裁决不服的，您可以向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。
- 若您与工厂构成劳务关系
- 法律依据：劳务关系中，双方的权利义务主要由双方协商确定，不受《劳动合同法》等劳动法律法规的调整。工厂开除您一般不需要遵循严格的法定程序和理由。
- 维权方式：
- 协商：同样，您可以先与工厂协商，了解开除原因，并尝试协商解决纠纷，如要求工厂支付一定的经济补偿。
- 提起民事诉讼：若协商不成，您可以根据双方签订的劳务合同或实际履行情况，向人民法院提起民事诉讼，要求工厂承担违约责任或赔偿损失。但需要注意的是，由于劳务关系的灵活性，您需要提供充分的证据证明工厂存在违约或侵权行为。
二、收集证据
无论您与工厂构成劳动关系还是劳务关系，在维权过程中，证据都至关重要。您需要收集以下证据：
- 证明用工关系的证据：如劳动合同、劳务合同、工作证、工作服、考勤记录、工资支付记录等，以证明您与工厂之间存在用工关系。
- 证明被开除的证据：如工厂出具的开除通知、解除劳务关系的证明、与工厂负责人的沟通记录等，以证明您被工厂开除的事实。
- 其他相关证据：如您的工作表现证明、工厂规章制度等，以辅助证明工厂开除您的行为是否合法或合理。
三、注意事项
- 及时维权：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从您知道或应当知道权利被侵害之日起计算。因此，您需要及时采取行动，以免超过时效期间而丧失维权机会。
- 寻求帮助：在维权过程中，如果您遇到困难或不确定如何操作，可以向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。