可以维权。以下是具体分析：

1. 未签劳动合同的法律后果
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当每月支付双倍工资（最多11个月）。即使未签合同，只要存在事实劳动关系（如工资发放记录、工作证、考勤记录等），劳动者仍受法律保护。

2. 被开除的维权路径

   • 违法解除赔偿：若用人单位无法证明开除理由合法（如严重违纪、不能胜任工作等），可能构成违法解除，需支付2N倍经济补偿金（N为工作年限，满6个月按1年计算）。
     
   • 未签合同的双倍工资：可同时主张未签合同期间的双倍工资差额。
     
   • 其他权益：如未缴纳社保，可要求补缴或主张经济补偿；拖欠工资的，可要求足额支付并加付赔偿金。

3. 维权步骤

   • 收集证据：工资条、银行流水、工作证、考勤记录、同事证言、工作沟通记录等，证明劳动关系及工作时长。
     
   • 协商或投诉：先与用人单位协商，协商不成可向当地劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁。
     
   • 申请仲裁：自知道权益受损之日起1年内，向劳动仲裁委提交仲裁申请，主张双倍工资、赔偿金等。

4. 注意事项

   • 仲裁时效为1年，逾期可能丧失胜诉权。
     
   • 若用人单位否认劳动关系，需优先通过证据证明事实劳动关系存在。
     
   • 清洁工等灵活就业人员同样受《劳动合同法》保护，无需因岗位性质放弃维权。

建议：尽快收集证据并申请劳动仲裁，未签合同与违法解除可同时主张权益。如有疑问，可直接向我咨询具体操作流程。