结论前置：入职第二天没有签劳务合同被开除，您完全有权申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
一、法律依据与劳动者权益
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，建立劳动关系应当订立书面劳动合同。虽然您仅入职第二天，但劳动关系自用工之日起即已建立，用人单位有义务与您签订书面劳动合同。同时，根据《劳动争议调解仲裁法》第二条，因解除劳动合同发生的争议，属于劳动争议调解仲裁法的适用范围，因此您有权申请劳动仲裁。
二、申请劳动仲裁的条件与准备
证明事实劳动关系：
- 尽管未签订书面劳动合同，但您可以通过提供工资条（如有）、工作证、考勤记录（如打卡记录、工作安排等）、同事证言等证据，来证明与用人单位之间存在事实的劳动关系。
明确被开除事实与证据：
- 您需要明确被开除的具体事实及时间，并准备好相关证据材料，如辞退通知（如有书面通知）、口头辞退的录音或聊天记录等。
三、劳动仲裁的详细流程
提交申请书：
- 您需向当地有管辖权的劳动争议仲裁委员会提交书面仲裁申请书，并按照被申请人数提交副本。申请书应写明仲裁请求（如要求支付双倍工资差额、违法解除劳动合同的赔偿金等）、事实和理由等。
仲裁受理：
- 仲裁委员会在收到申请后五日内会作出受理或不予受理的决定，并通知您。若决定受理，将申诉书副本送达被申请人（即用人单位）。
开庭审理与调解：
- 仲裁庭会在开庭前五日通知双方当事人。开庭时，双方进行举证、质证、辩论等环节。仲裁庭会先行调解，促使双方自愿达成协议。
仲裁裁决：
- 仲裁庭根据审理情况作出裁决，并出具仲裁裁决书。若对仲裁结果不满意，您在规定时间内可以向人民法院提起诉讼。
四、您可主张的具体权益
双倍工资差额：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。虽然您仅入职第二天，但此条款旨在保护劳动者的权益，防止用人单位长期不签订劳动合同。在实际操作中，对于入职初期即被开除的情况，您仍可以主张从入职之日起至被开除之日止的双倍工资差额（但需注意，由于时间较短，实际可主张的差额可能有限）。不过，更常见的做法是，若后续入职其他单位且存在未签合同情况，可累计计算双倍工资差额的请求权基础，但就本次入职而言，主要关注的是违法解除的赔偿。不过，从严格法律条文解读，您有权提出此主张，具体能否得到支持需结合仲裁庭或法院的裁量。
违法解除劳动合同的赔偿金：
- 若用人单位无正当理由随意辞退您，构成违法解除劳动合同，您可以要求用人单位依照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金的计算方式为：按您在本单位工作的年限（虽仅一天，但按法律规定计算方式，不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿，再乘以二倍即为赔偿金），即支付您一个月工资的赔偿金（因不满六个月按半个月计算，再双倍即为一个月工资作为赔偿，但实际操作中可能因工作天数极少而有所调整，但法律原则上是支持按此标准计算的，具体数额需根据您的实际工资水平确定）。不过，更精确的计算是，由于您工作不满六个月，经济补偿为半个月工资，违法解除的赔偿金则为这半个月工资的两倍，即一个月工资（若以您实际工作天数对应的工资为基数计算半个月工资，再双倍，则数额可能较小，但法律原则如此）。简言之，您有权主张一个月工资左右的赔偿金（具体数额需根据您的工资水平和工作天数精确计算）。
五、建议与后续行动
- 收集证据：尽快收集上述提到的能够证明事实劳动关系和被开除事实的证据材料。
- 咨询与申请：在准备充分后，向当地劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请书，并按照流程进行申请。
- 关注进展：在仲裁过程中，保持与仲裁委员会的沟通，及时了解仲裁进展，并根据需要补充证据或材料。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。