您可以直接向劳动仲裁机构申请仲裁，主张未签书面劳动合同的双倍工资差额及违法解除劳动合同的赔偿金。以下是详细分析：

1. 未签书面劳动合同的法律后果
   根据《劳动合同法》第十条、第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。您虽处于试用期，但试用期包含在劳动合同期限内，用人单位未与您签订书面劳动合同的行为已违法，您有权主张自用工第二日起至解除之日止的双倍工资差额（需注意：若试用期不足一个月，部分地区可能不支持双倍工资，但您的情况是“第二天被开除”，仍可主张实际工作日的双倍工资）。

2. 违法解除劳动合同的赔偿金
   根据《劳动合同法》第三十九条、第四十条，用人单位解除劳动合同需符合法定情形（如劳动者严重违纪、不能胜任工作等），且需履行法定程序（如提前通知、支付经济补偿等）。您被“无故开除”，属于违法解除，根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位应按经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。由于您工作未满六个月，经济补偿为半个月工资，故赔偿金为一个月工资。

3. 劳动仲裁的流程与证据

   • 流程：向用人单位所在地或劳动合同履行地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请书（需写明双方信息、仲裁请求、事实与理由）、身份证复印件、用人单位工商登记信息、证据材料等。仲裁委员会受理后，会安排开庭审理并作出裁决。
     
   • 证据：需重点收集能证明劳动关系存在的证据（如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等）、未签书面劳动合同的证据（如录用通知、入职材料等）、被开除的证据（如解除通知、聊天记录、录音等）。若证据不足，可能影响仲裁结果，建议尽量收集。

4. 注意事项

   • 时效：劳动仲裁时效为一年，自您知道或应当知道权利被侵害之日起计算（即被开除之日起一年内申请）。
     
   • 调解：仲裁前或仲裁中，仲裁委员会可能组织调解，您可根据实际情况选择是否接受调解方案。
     
   • 执行：若仲裁裁决生效后用人单位不履行，您可向法院申请强制执行。

建议：尽快整理证据并提交仲裁申请，避免时效问题。若对流程或证据收集有疑问，可直接向我咨询，我会根据您的具体情况进一步分析。