结论前置：针对您描述的情况，员工在试用期三个月过后未签订新劳动合同，又工作了一个月后被公司解雇，公司可能涉及违法解除劳动合同以及未及时签订书面劳动合同的违法行为，员工有权要求公司支付相应的赔偿。
详细分析如下：
关于试用期及劳动合同签订：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，试用期包含在劳动合同期限内，且劳动合同仅约定试用期的，试用期不成立，该期限为劳动合同期限。这意味着，试用期结束后，如果双方继续劳动关系，应当签订正式的劳动合同。
- 在您的情况下，试用期三个月过后，公司未与员工签订新的劳动合同，但员工继续工作了一个月，这构成了事实上的劳动关系。公司应当在此期间内与员工签订书面劳动合同，否则将面临法律责任。
关于公司解雇员工的合法性：
- 如果公司解雇员工没有合法的理由，如员工严重违反公司规章制度、严重失职等，那么公司的解雇行为可能构成违法解除劳动合同。
- 在您的情况下，如果公司没有提供充分的解雇理由，或者解雇理由不符合法律规定，那么员工有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。
关于未签订书面劳动合同的法律责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 在您的情况下，公司未在试用期结束后与员工签订书面劳动合同，且员工又工作了一个月，因此公司应当向员工支付这一个月的双倍工资作为赔偿。
具体赔偿计算（以一个月工资为例）：
- 假设员工一个月的工资为X元，那么公司因未签订书面劳动合同而应支付的赔偿为X元（即一个月的双倍工资，扣除已支付的一个月工资，实际需额外支付X元）。
- 如果公司违法解除劳动合同，员工还有权要求公司支付经济补偿金，具体数额根据员工在公司的工作年限和工资水平来确定。但在此情况下，由于员工工作未满六个月，经济补偿金通常为半个月工资（即0.5X元）。不过，若公司违法解除，员工可主张的是赔偿金，标准为经济补偿金的两倍，即X元（但需注意，这里的赔偿金与未签合同的双倍工资赔偿是分开的，不重叠计算）。不过就本例而言，主要关注的是未签合同的双倍工资差额部分。
建议行动：
- 员工可以与公司进行协商，要求公司支付未签订书面劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金（如果适用）。
- 如果协商不成，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
后续思考：
- 在处理此类劳动纠纷时，员工应尽可能收集相关证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以证明自己与公司之间的劳动关系以及公司的违法行为。
- 同时，员工也应了解自己的法律权益和维权途径，以便在必要时采取合适的行动来维护自己的合法权益。
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