结论：无固定期限劳动合同员工被转到另一家公司，不签离职书直接签新合同是否合法，需分情况讨论，一般情况下不合法，但若符合特定条件如关联企业间调动且权益不受损，可能被视为合法。以下为详细分析：
一、一般情况下不合法
劳动合同变更需协商一致：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同的变更（包括用人单位的变更）应当遵循平等自愿、协商一致的原则。这意味着，如果原用人单位要将员工转到另一家公司，必须与员工就劳动合同的变更进行协商，并达成一致意见。
- 在未与员工协商一致的情况下，原用人单位单方面将员工转到另一家公司，并要求员工直接签订新合同而不签离职书，这种做法违反了劳动合同变更的法定程序，因此是不合法的。
员工权益保护：
- 员工在原用人单位工作期间，享有包括工资、福利、社会保险等在内的各项权益。如果未经员工同意就将其转到另一家公司，可能会损害员工的这些权益。
- 例如，新公司可能提供的工作条件、工资待遇等不如原公司，或者新公司可能不承认员工在原公司的工作年限和工龄，从而影响员工的福利待遇和职业发展。
二、特定情况下可能合法
关联企业间的调动：
- 如果原用人单位和新用人单位是关联企业（如母公司与子公司、总公司与分公司等），且这种调动是为了企业的整体利益或业务发展需要，同时员工的权益（如工资、福利、社会保险等）在调动后不受损害，那么这种调动可能被视为合法。
- 但即便如此，也应当与员工进行充分沟通，并确保员工明确知晓调动后的权益和义务，最好通过书面形式进行确认。
员工同意并签署相关文件：
- 如果员工同意被调到另一家公司，并签署了相关的调动协议或新劳动合同，同时明确放弃了在原用人单位的离职补偿等权益（如果有的话），那么这种调动也是合法的。
- 但这种情况下，员工应当充分了解自己的权益和义务，并确保签署的文件内容真实、合法、有效。
三、法律建议
对于员工：
- 如果遇到未经协商一致就被调到另一家公司的情况，员工有权拒绝并要求原用人单位继续履行原劳动合同。
- 如果员工同意调动，应当与新用人单位签署新的劳动合同，并明确约定工作条件、工资待遇、社会保险等权益，以确保自己的合法权益不受损害。
对于用人单位：
- 在进行员工调动时，应当遵循平等自愿、协商一致的原则，与员工进行充分沟通并达成一致意见。
- 确保调动后员工的权益不受损害，并签署相关的调动协议或新劳动合同以明确双方的权利和义务。
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