结论：公司这种做法是不合法的，员工有权拒绝签署离职书，并可以通过法律途径维护自己的合法权益。下面我将从多个角度详细分析这一问题。
一、关于公司未给员工合同的问题
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同是劳动者与用人单位确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。用人单位与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同，并且双方各执一份。
法律后果：
- 如果公司未将劳动合同文本交付劳动者，这属于违法行为。劳动者有权要求公司提供一份劳动合同，并且可以向劳动行政部门投诉，劳动行政部门会责令公司改正。如果因此给劳动者造成损害的，公司还应当承担赔偿责任。
二、关于公司到期后叫员工签离职书的问题
离职书的性质：
- 离职书，通常指的是员工主动提出解除劳动合同的书面申请。如果员工并未主动提出离职，而是公司要求员工签署离职书，这可能构成公司单方面解除劳动合同的行为。
公司单方面解除劳动合同的合法性：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，公司单方面解除劳动合同必须符合法定的条件和程序。如果公司无正当理由要求员工签署离职书，或者未按照法定程序进行解除，那么这种行为是违法的。
- 特别是如果员工并未同意签署离职书，而公司却以不签署离职书为由威胁、胁迫员工，或者采取其他非法手段迫使员工签署，那么这种行为更是严重违法，员工有权向劳动行政部门投诉，并可以要求公司承担相应的法律责任。
员工的权利：
- 员工有权拒绝签署不合理的离职书。如果员工认为公司要求签署离职书的行为违法或不合理，可以拒绝签署，并可以向劳动行政部门投诉或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
三、建议与措施
与公司沟通：
- 员工可以首先尝试与公司进行沟通，明确表达自己的立场和诉求，要求公司提供一份劳动合同，并拒绝签署不合理的离职书。
收集证据：
- 员工应收集相关证据，如劳动合同未交付的证明、公司要求签署离职书的通知或记录等，以备后续维权之需。
寻求法律帮助：
- 如果公司拒绝改正或采取非法手段迫使员工签署离职书，员工可以向劳动行政部门投诉或申请劳动仲裁，甚至可以通过诉讼途径维护自己的合法权益。在这个过程中，员工可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保障。
最后，我想强调的是，作为劳动者，我们应该了解自己的权益和义务，并在遇到问题时积极维护自己的合法权益。如果公司存在违法行为或不合理要求，我们有权拒绝并寻求法律帮助。如果你还有其他关于劳动工伤或合同纠纷方面的问题，可以直接向我咨询。