结论前置：公司员工合同到期不给员工签合同，这一行为是否违法需分情况讨论。若原合同到期后公司未与员工续签但员工继续工作，且超过一个月未签书面合同，则公司违法；若合同到期公司直接不续签且未让员工继续工作，则一般不违法，但需支付经济补偿（特定情形下违法）。以下是对此问题的详细分析：
一、合同到期未续签但员工继续工作的情况
法律要求：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系应当订立书面劳动合同。若已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同，公司应在自用工之日起一个月内与员工签订书面劳动合同。这一规定同样适用于合同到期后员工继续工作的情况。
法律后果：
- 超过一个月未签订：如果公司在合同到期后，员工继续工作但超过一个月仍未与员工签订书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，公司应向员工每月支付二倍的工资。这里的“二倍工资”计算期从合同到期满一个月的次日起，直至公司与员工签订书面劳动合同或满一年的前一日止。
- 满一年仍未签订：若公司自合同到期员工继续工作满一年仍未与员工订立书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，将视为公司与员工已订立无固定期限劳动合同。同时，公司仍需支付自合同到期满一个月的次日至满一年的前一日的二倍工资作为赔偿。
二、合同到期公司直接不续签且未让员工继续工作的情况
一般情况：
- 劳动合同期满时，公司和员工均享有选择是否续签的权利。单纯的不续签行为本身并不构成违法。然而，如果公司决定不续签劳动合同，且员工不存在《劳动合同法》规定的公司可以解除劳动合同的情形（例如严重违反规章制度），那么公司需要按照法律规定向员工支付经济补偿。
经济补偿的计算：
- 经济补偿按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则向员工支付半个月工资的经济补偿。例如，若员工在公司工作了3年，月工资为5000元，那么公司应支付的经济补偿金就是15000元。
特定情形下的违法性：
- 在以下特定情况下，公司不续签劳动合同将构成违法行为：
- 女职工在孕期、产期、哺乳期：法律对这一时期的女职工提供特别保护。如果劳动合同到期时，女职工正处于孕期、产期或哺乳期内，公司不能以合同到期为由不续签劳动合同，而应当将劳动合同续延至相应的特殊时期结束。
- 因工负伤或患职业病并丧失或部分丧失劳动能力：员工在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力的，公司不能随意不续签劳动合同。具体处理方式需根据员工丧失劳动能力的程度来确定。
- 连续订立二次固定期限劳动合同且无过错：当满足连续订立二次固定期限劳动合同，且员工没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的过错情形时，如果员工提出或同意续订劳动合同，并且要求订立无固定期限劳动合同的，公司应当订立无固定期限劳动合同。此时，如果公司不续签，将违反法律规定。
三、员工权益保护途径
面对公司不签订劳动合同的情况，员工有多种途径来维护自己的合法权益：
- 与公司协商：首先尝试与公司进行友好协商，要求签订书面劳动合同并补发应得的二倍工资（如适用）或经济补偿。
- 向劳动监察部门投诉：若协商无果，员工可以向当地劳动监察部门投诉公司的违法行为，由劳动监察部门进行查处。
- 申请劳动仲裁：员工还可以依法向劳动争议调解仲裁委员会申请调解或仲裁，以寻求法律救济。在仲裁过程中，员工应提供充分的证据来证明公司与自己存在劳动关系且未签订书面劳动合同的事实。
综上所述，公司员工合同到期不给员工签合同是否违法，需根据具体情况判断。如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。