结论：在合同到期且单位不再续签，但还差一个月的情况下，您能否去另外一个厂上班，需根据具体情况来判断，主要涉及原合同是否已实际终止、是否存在竞业限制或保密协议等因素。以下从不同角度进行分析：
一、原合同是否已实际终止
若原合同已到期且未续签，合同关系已终止：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期，用人单位不续签的，劳动合同终止。在此情况下，您与原用人单位的劳动关系已不存在，您有权自由选择新的就业机会，包括去另外一个厂上班。
若原合同虽到期但存在特殊约定或未了结事项：
- 如果原合同中存在特殊约定，如合同到期后需完成一定工作交接或履行特定义务等，您需先履行完这些义务，再考虑去新单位上班。否则，可能构成违约，需承担相应法律责任。
- 另外，如果原合同到期后，您与用人单位之间存在未了结的债权债务关系（如工资结算、经济补偿等），也需先处理完这些事项，再考虑新工作。
二、是否存在竞业限制或保密协议
若存在竞业限制协议：
- 竞业限制协议是用人单位与劳动者约定的，在解除或终止劳动合同后，劳动者不得到与本单位生产或者经营同类产品、从事同类业务的有竞争关系的其他用人单位工作，或者自己开业生产或者经营同类产品、从事同类业务的协议。
- 如果您与原用人单位签订了竞业限制协议，且在竞业限制期限内，您去另外一个与原用人单位有竞争关系的厂上班，将构成违约，需承担违约责任。
若存在保密协议：
- 保密协议是用人单位与劳动者约定的，劳动者对在工作中知悉的商业秘密和其他与知识产权相关的保密事项负有保密义务的协议。
- 如果您与原用人单位签订了保密协议，且在新工作中可能涉及原用人单位的商业秘密或保密信息，您需谨慎处理，避免泄露原用人单位的保密信息，否则可能构成侵权或违约。
三、建议与注意事项
提前与原用人单位沟通：
- 在决定去新单位上班前，建议您提前与原用人单位沟通，了解合同终止后的相关事宜，如工作交接、工资结算、经济补偿等，确保双方权益得到保障。
审查新单位的用工条件：
- 在接受新单位的录用前，建议您仔细审查新单位的用工条件，如劳动合同条款、工资待遇、工作环境等，确保新工作符合您的期望和需求。
遵守法律法规和合同约定：
- 无论您选择去哪个单位上班，都需遵守国家法律法规和合同约定，不得损害原用人单位的合法权益，也不得违反新单位的规章制度。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。