结论：劳动合同到期不续签的情况下，你可以与另一个单位签订劳动合同，但需确保与原单位的劳动关系已合法终止，并注意新合同签订过程中的合法性和合规性。以下从不同角度为你详细分析：

一、法律层面分析

1. 劳动合同终止后的自由择业权
   根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条，劳动合同期满的，劳动合同终止。这意味着，当你的劳动合同到期且不续签时，你与原单位的劳动关系已合法解除，此时你享有自由择业的权利，可以与其他单位签订新的劳动合同。

2. 双重劳动关系的限制
   虽然劳动合同终止后你可以自由择业，但如果你在原劳动合同终止前已与其他单位建立了劳动关系（如兼职），且该关系未对原单位的工作任务造成严重影响或经原单位提出后拒不改正，则原单位无权因此解除与你的劳动合同（依据《劳动合同法》第三十九条）。然而，这一规定主要适用于劳动合同存续期间，对于劳动合同已终止的情况并不直接适用。但需注意，若你在新合同签订前仍与原单位存在未了结的劳动关系（如未办理离职手续、未结清工资等），则可能影响新合同的签订和效力。

3. 新合同的合法性和合规性
   在签订新劳动合同时，你应确保新合同的内容符合国家法律法规的规定，不得损害你的合法权益，也不得违反公序良俗。同时，新合同的签订必须是双方自愿、协商一致的结果，不存在欺诈、胁迫等违法行为。

二、实际操作注意事项

1. 确认原劳动合同已终止
   在签订新劳动合同前，务必确认与原单位的劳动合同已合法终止。这通常包括办理离职手续、结清工资、社保等福利待遇的转移等。若原单位未按照法律规定办理相关手续，你可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

2. 评估新合同与原工作的关系
   虽然原劳动合同已终止，但如果你在原单位的工作涉及商业秘密、竞业限制等特殊条款，你在签订新合同时应谨慎评估新工作是否可能违反这些条款。若违反，你可能面临法律责任和赔偿风险。

3. 与新单位充分沟通
   在签订新劳动合同时，与新单位充分沟通你的工作经历、技能、职业规划等信息，确保双方对新工作的内容和要求有清晰的认识。同时，了解新单位对求职者劳动关系状态的要求，避免因隐瞒或虚假陈述而引发纠纷。

三、特殊情况下的处理

1. 原单位存在违法行为
   若原单位在劳动合同存续期间存在未提供劳动保护、未及时支付劳动报酬、未依法缴纳社保费等严重违法行为，你不仅可以依法解除与原单位的劳动合同，还可以在解除后立即与其他单位签订新的劳动合同，无需担心法律责任。

2. 非全日制用工的特殊性
   如果你在新单位从事的是非全日制用工（如兼职、临时工等），且该用工形式不影响你与原单位劳动合同的履行（在原合同未终止前），则你可以同时与多个单位建立劳动关系。但需注意，非全日制用工的工作时间、工资支付等需符合《劳动合同法》的相关规定。

建议：在签订新劳动合同前，务必确保与原单位的劳动关系已合法终止，并仔细阅读新合同的条款内容。若对新合同的签订存在疑问或不确定，可以直接向我咨询，我会为你提供具体的法律建议和指导。