结论：员工通过邮件申请续签合同，公司不看也不回，在符合一定条件下可以视为员工提出了书面申请。以下从不同角度进行分析：
从书面申请的形式要件角度
书面申请并不局限于传统的纸质文件，电子邮件作为一种电子数据形式，在符合一定条件时也可以被认定为书面形式。根据《民法典》第四百六十九条：“当事人订立合同，可以采用书面形式、口头形式或者其他形式。书面形式是合同书、信件、电报、电传、传真等可以有形地表现所载内容的形式。以电子数据交换、电子邮件等方式能够有形地表现所载内容，并可以随时调取查用的数据电文，视为书面形式”。
因此，如果员工发送的邮件内容明确表达了续签合同的意愿，且邮件能够有形地表现所载内容，同时员工可以证明该邮件已经成功发送至公司指定的或通常使用的邮箱地址，那么该邮件在形式上可以视为书面申请。
从公司行为对申请认定的影响角度
公司不看也不回邮件的行为，虽然可能表明公司对员工的续签申请未给予积极回应，但这并不影响员工已经提出书面申请的事实。公司的不作为不能改变员工已经履行了提出续签申请义务的状态。然而，如果公司能够证明其未收到该邮件（例如，邮箱故障、邮件被误分类至垃圾邮件等），且员工无法提供其他证据证明公司已经收到邮件，那么员工可能面临举证不能的风险，即无法证明其已经提出了书面申请。
从实际操作和证据保留角度
为了确保自己的权益，员工在发送续签申请邮件时，应当注意以下几点：
从法律后果角度
如果员工能够证明其已经通过邮件提出了书面续签申请，而公司未予回复或拒绝续签，且无法证明存在法定或约定的不续签情形，那么公司可能面临支付经济补偿金等法律后果。具体来说，根据《劳动合同法》的相关规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
建议：如果您遇到了类似情况，建议您先与公司进行沟通协商，明确公司的态度和意图。如果协商无果，您可以收集好相关证据（如邮件发送记录、跟进确认记录等），并咨询专业律师（即我本人，李加文律师，专注于劳动纠纷、合同纠纷领域），以便更好地维护自己的合法权益。