核心结论：您在工厂工作13年，因年龄超过55岁被厂里辞退，能否获得赔偿以及赔偿的具体方式，需根据您与工厂的劳动关系性质（是否为无固定期限劳动合同、是否已享受养老保险待遇等）来综合判断。以下是具体分析：

1. 若您与工厂签订的是无固定期限劳动合同，且未享受养老保险待遇：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位单方面解除劳动合同，除非符合法定解除情形（如严重违反用人单位规章制度、被依法追究刑事责任等），否则需支付经济补偿金。
   • 经济补偿金的计算方式为：按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。因此，您工作13年，应获得13个月工资的经济补偿金。
   • 若工厂未提前30日以书面形式通知您解除劳动合同，还需额外支付一个月工资作为代通知金。

2. 若您已开始依法享受基本养老保险待遇：

   • 根据《劳动合同法实施条例》的规定，劳动者达到法定退休年龄的，劳动合同终止。此时，工厂辞退您并不属于违法解除劳动合同，因此无需支付经济补偿金。
   • 但如果您认为工厂在终止劳动合同过程中存在过错（如未提前通知、未办理相关手续等），您可以与工厂协商或向劳动监察部门投诉，要求工厂承担相应的责任。

3. 若您与工厂签订的是固定期限劳动合同，且合同未到期：

   • 工厂因您年龄超过55岁而辞退您，若此理由不构成法定解除情形，则工厂的行为属于违法解除劳动合同。
   • 此时，您有权要求工厂继续履行劳动合同或支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿金的两倍，即您应获得26个月工资的赔偿金。

建议：

• 首先，查看您与工厂签订的劳动合同，明确合同类型、期限以及解除或终止的条件。
• 其次，收集相关证据（如工资单、工作证、劳动合同等），以证明您与工厂的劳动关系以及您的工作年限。
• 然后，与工厂进行协商，要求工厂按照法律规定支付经济补偿金或赔偿金。
• 若协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护您的合法权益。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。