1. 明确结论： 公司忘记续签劳动合同，劳动者有权申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。

2. 法律依据与详细分析：

• 受理范围：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条，因订立、履行、变更、解除和终止劳动合同发生的争议，均属于劳动争议仲裁委员会的受理范围。因此，公司忘记续签劳动合同引发的争议，劳动者可以申请劳动仲裁。

• 经济补偿：依据《劳动合同法》第四十六条第五项，除非用人单位维持或提高劳动合同约定条件而劳动者不同意续订，否则劳动合同期满终止时，用人单位应向劳动者支付经济补偿。若公司忘记续签且未支付经济补偿，劳动者在申请仲裁时可以主张此项权益。

• 双倍工资：若劳动合同到期后，公司未及时续签但劳动者仍在工作，且超过一个月不满一年未签订书面劳动合同的，根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位应支付双倍工资。这是劳动者在申请仲裁时可以主张的另一项权益。

3. 申请仲裁的条件与流程：

• 申请条件：劳动者认为自身权益受到侵害，即公司不续签劳动合同且未依法支付经济补偿（如适用）。同时，申请者需在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内提出仲裁申请。

• 仲裁流程：

  1. 准备材料：劳动者需收集并准备仲裁申请书、身份证明、劳动关系证明（如原劳动合同、工资条、工作证等）以及相关证据（如不续签通知、工作记录等）。
  2. 提交申请：向有管辖权的劳动争议仲裁委员会提交书面申请及附带的证据材料。
  3. 立案审查与调解：仲裁委员会收到申请后进行立案审查，并尝试组织双方当事人进行调解。
  4. 开庭仲裁：若调解不成，仲裁委员会将安排开庭审理，劳动者需按时参加，陈述事实、提供证据并参与辩论。
  5. 仲裁裁决：仲裁委员会最终作出仲裁裁决，明确双方的权利和义务。

4. 仲裁结果及其后续：

• 若裁决用人单位需支付经济补偿或双倍工资，用人单位应按裁决结果履行义务。
• 如劳动者对裁决结果不服，可在规定期限内向人民法院提起诉讼。

5. 法律建议：

• 在申请仲裁前，劳动者应仔细收集并保存所有相关证据，如原劳动合同、工资条、工作证、不续签通知等，以确保在仲裁过程中能够充分证明自己的主张。
• 劳动者在申请仲裁时，应明确自己的诉求，如要求支付经济补偿、双倍工资等，并准备好相应的证据和法律依据。
• 若对仲裁流程或法律条款不熟悉，劳动者可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分维护。

综上所述，当公司忘记续签劳动合同时，劳动者不仅有权申请劳动仲裁，而且通过正确的流程和充分的准备，可以有效地维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。