你可以申请赔偿。针对你的情况，以下是从不同角度的详细分析：
一、未签劳动合同的法律后果
根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。你在奶茶店工作了两个多月，而老板未与你签订劳动合同，因此，你有权要求老板支付你第二个月工作的双倍工资作为赔偿。
二、被辞退的赔偿问题
合法辞退：如果老板是因为你确实不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作等合法原因辞退你，那么老板需要按照你在单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向你支付经济补偿。由于你工作了两个多月，不满六个月，所以老板应支付你半个月工资的经济补偿。但在此情况下，由于老板未与你签订劳动合同，你仍有权要求支付双倍工资。
非法辞退：如果老板没有合法理由就辞退你，比如仅仅因为生意不好就随意解雇员工，那么这属于非法辞退。根据《劳动合同法》的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。因此，你有权要求老板支付你一个月工资（即双倍经济补偿）作为赔偿金，同时，你仍然有权要求老板支付你第二个月工作的双倍工资。
三、实际操作建议
收集证据：首先，你需要收集一些能证明你与奶茶店存在劳动关系的证据，比如工作证、考勤记录、工资条、同事证言等。这些证据将有助于你后续的维权行动。
与老板协商：在掌握了足够的证据后，你可以尝试与老板进行协商，要求他支付你应得的赔偿。如果老板同意，那么问题就可以得到妥善解决。
申请劳动仲裁：如果与老板协商无果，你可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁。在申请劳动仲裁时，你需要提交相关的证据和申请书，仲裁机构将根据你的证据和法律规定来作出裁决。
提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，你还可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
在整个过程中，如果你感到困惑或者需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供更详细、更专业的法律建议。